אם lim x → a f ( x ) = L , lim x → a g ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=\infty } אז lim x → a [ f ( x ) − g ( x ) ] = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}=-\infty } .
יש להראות כי לכל M {\displaystyle M} קיימת δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כך שלכל 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } מתקיים f ( x ) − g ( x ) < M {\displaystyle f(x)-g(x)<M} .
מהגדרת הגבול הראשון לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיים δ 1 > 0 {\displaystyle \delta _{1}>0} כך שלכל 0 < | x − a | < δ 1 {\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}} מתקיים | f ( x ) − L | < ε {\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon } , אזי f ( x ) < L + ε {\displaystyle f(x)<L+\varepsilon } .
מהגדרת הגבול השני לכל M {\displaystyle M} קיים δ 2 > 0 {\displaystyle \delta _{2}>0} כך שלכל 0 < | x − a | < δ 2 {\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}} מתקיים g ( x ) > L + ε − M {\displaystyle g(x)>L+\varepsilon -M} .
נבחר δ = min { δ 1 , δ 2 } {\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}} . לפיכך,
◼ {\displaystyle \blacksquare }
![{\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58bea04da4d92656a4eb0e4019a571bfd5f7f1c)
