הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/יחידות הגבול

משפט

אם לסדרה קיים גבול, אזי הגבול הוא יחיד. במילים אחרות, אם מתכנסת גם למספר וגם למספר , אז בהכרח .

הערה: המשפט נכון באותה מידה עבור פונקציות, הן עבור גבול בנקודה סופית והן עבור גבול באינסוף, עם הוכחות בעלות עקרון זהה.

הוכחה באמצעות הגדרת הגבול

מהגדרת הגבול לכל קיים כך שלכל מתקיים .

כמו־כן, עבור אותו קיים כך שלכל מתקיים .

נבחר ואז לכל קיים כך שלכל מתקיים וגם .

אזי,

אבל זה לא יכול להיות גדול מ־0 כי אז נוכל לבחור ונקבל סתירה. לפיכך כלומר .

הוכחה באמצעות המשפט על מונוטוניות של גבולות

על־פי המשפט על מונוטוניות של גבולות, ניתן להציע הוכחה קצרה ומיידית.

המשפט אומר כי אם שתי סדרות מקיימות לכל ושתי הסדרות מתכנסות, אזי .

נשתמש במשפט, כאשר שתי הסדרות שלנו יהיו הסדרה הנתונה . כמובן שמתקיים והסדרה מתכנסת (לשני גבולות שונים), אז מהמשפט נובע כי . מאידך גיסא, ונקבל . אזי האפשרות היחידה היא .