- משפט
אם לסדרה קיים גבול, אזי הגבול הוא יחיד. במילים אחרות, אם מתכנסת גם למספר וגם למספר , אז בהכרח .
הערה: המשפט נכון באותה מידה עבור פונקציות, הן עבור גבול בנקודה סופית והן עבור גבול באינסוף, עם הוכחות בעלות עקרון זהה.
- הוכחה באמצעות הגדרת הגבול
מהגדרת הגבול לכל קיים כך שלכל מתקיים .
כמו־כן, עבור אותו קיים כך שלכל מתקיים .
נבחר ואז לכל קיים כך שלכל מתקיים וגם .
אזי,
אבל זה לא יכול להיות גדול מ־0 כי אז נוכל לבחור ונקבל סתירה. לפיכך כלומר .
- הוכחה באמצעות המשפט על מונוטוניות של גבולות
על־פי המשפט על מונוטוניות של גבולות, ניתן להציע הוכחה קצרה ומיידית.
המשפט אומר כי אם שתי סדרות מקיימות לכל ושתי הסדרות מתכנסות, אזי .
נשתמש במשפט, כאשר שתי הסדרות שלנו יהיו הסדרה הנתונה . כמובן שמתקיים והסדרה מתכנסת (לשני גבולות שונים), אז מהמשפט נובע כי . מאידך גיסא, ונקבל . אזי האפשרות היחידה היא .