אם הפונקציות f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) {\displaystyle f(x),g(x),h(x)} מקיימות את שני התנאים הבאים:
אזי lim x → a h ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=L} .
יהי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} .
קיים δ 1 > 0 {\displaystyle \delta _{1}>0} כך שלכל 0 < | x − a | < δ 1 {\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}} מתקיים f ( x ) ≤ h ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle f(x)\leq h(x)\leq g(x)} .
קיים δ 2 > 0 {\displaystyle \delta _{2}>0} כך שלכל 0 < | x − a | < δ 2 {\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}} מתקיים L − ε < f ( x ) < L + ε {\displaystyle L-\varepsilon <f(x)<L+\varepsilon } .
קיים δ 3 > 0 {\displaystyle \delta _{3}>0} כך שלכל 0 < | x − a | < δ 3 {\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{3}} מתקיים L − ε < g ( x ) < L + ε {\displaystyle L-\varepsilon <g(x)<L+\varepsilon } .
נבחר δ = min { δ 1 , δ 2 , δ 3 } {\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}\}} . לפיכך,
לכן lim x → a h ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=L} .
◼ {\displaystyle \blacksquare }
