הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/מונוטוניות גוררת גבולות חד-צדדיים

משפט

אם מוגדרת בקטע הסגור ומונוטונית בקטע, אז יש לה גבולות חד־צדדיים בכל .

הוכחה

נניח ללא הגבלת הכלליות כי הפונקציה מונוטונית עולה, ונוכיח ללא הגבלת הכלליות כי לפונקציה יש גבול שמאלי בכל נקודה בקטע.

נגדיר קבוצה .

יהי . נמצא כך שלכל מתקיים , כאשר .

קיומו של מובטח מכיון ש־ חסומה מלעיל ע"י , וקיים לקבוצה חסם עליון על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים.

נשים לב כי לכל מתקיים ולכן לכל ובלי קשר לבחירת דלתא, ונותר לנו רק להוכיח כי לכל ולכל מתקיים .


על־פי הגדרת חסם עליון, לכל קיים עבורו .

נבחר ואז אם אז וכיון שהפונקציה מונוטונית עולה בקטע, נקבל כי ולכן .

לכן לכל מתקיים לכל .