- משפט
אם מוגדרת בקטע הסגור ומונוטונית בקטע, אז יש לה גבולות חד־צדדיים בכל .
- הוכחה
נניח ללא הגבלת הכלליות כי הפונקציה מונוטונית עולה, ונוכיח ללא הגבלת הכלליות כי לפונקציה יש גבול שמאלי בכל נקודה בקטע.
נגדיר קבוצה .
יהי . נמצא כך שלכל מתקיים , כאשר .
קיומו של מובטח מכיון ש־ חסומה מלעיל ע"י , וקיים לקבוצה חסם עליון על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים.
נשים לב כי לכל מתקיים ולכן לכל ובלי קשר לבחירת דלתא, ונותר לנו רק להוכיח כי לכל ולכל מתקיים .
על־פי הגדרת חסם עליון, לכל קיים עבורו .
נבחר ואז אם אז וכיון שהפונקציה מונוטונית עולה בקטע, נקבל כי ולכן .
לכן לכל מתקיים לכל .