הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/מכפלה אינסופית

משפט

  • אם אז
  • אם אז
  • אם אז
הוכחה

מספיק להראות כי לכל קיים כך שלכל מתקיים .

קיים כך שלכל מתקיים , כלומר . אזי חיובית ומוגבלת לסביבה מנוקבת של .

לכל קיים כך שלכל מתקיים .

נבחר . לפיכך,


מספיק להראות כי לכל קיים כך שלכל מתקיים .

קיים כך שלכל מתקיים , כלומר . אזי שלילית ומוגבלת לסביבה מנוקבת של .

לכל קיים כך שלכל מתקיים .

נבחר . לפיכך,


יש להראות כי לכל קיים כך שלכל מתקיים .

לכל קיים כך שלכל מתקיים .

לכל קיים כך שלכל מתקיים כאשר .

נבחר . לפיכך,