- משפט
- אם
אז ![{\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd980f481ae5a1010d647f623616b2e4d97cfdd)
- אם
אז ![{\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/addca932e0ec83fc5d25bb5d8b7ee4f9ac5bfe38)
- אם
אז ![{\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd980f481ae5a1010d647f623616b2e4d97cfdd)
- הוכחה
![{\displaystyle L>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d06bfbe00ff463870f868c958b37cbe46ea3a0)
מספיק להראות כי לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
.
קיים
כך שלכל
מתקיים
, כלומר
. אזי
חיובית ומוגבלת לסביבה מנוקבת של
.
לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
.
נבחר
. לפיכך,
![{\displaystyle f(x)\cdot g(x)\ {\color {red}>}\ \varepsilon \cdot {\frac {M}{\varepsilon }}=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fdb5f34182aa317fbfc8db2c08ed7c870bdd752)
![{\displaystyle L<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e61be6d301179f8a423011d2d0a4bad430dd835e)
מספיק להראות כי לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
.
קיים
כך שלכל
מתקיים
, כלומר
. אזי
שלילית ומוגבלת לסביבה מנוקבת של
.
לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
.
נבחר
. לפיכך,
![{\displaystyle f(x)\cdot g(x)\ {\color {red}<}\ (-\varepsilon )\cdot \left(-{\frac {M}{\varepsilon }}\right)=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a6ead379a420750cba0c84795d626a2ba4531a2)
![{\displaystyle L=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108e9969dcbc24332429ed5f6c9ae6f3bad9aad2)
יש להראות כי לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
.
לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
.
לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
כאשר
.
נבחר
. לפיכך,
![{\displaystyle f(x)\cdot g(x)\ {\color {red}>}\ N\cdot {\frac {M}{N}}=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc5626a4b5be73a28cedde7995e4d5ab755e3a5)