אם lim x → a f ( x ) = L , lim x → a g ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=\infty } אזי lim x → a f ( x ) g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0} .
יהי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} . יש להראות כי קיים δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כך שלכל 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } מתקיים | f ( x ) g ( x ) | < ε {\displaystyle \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|<\varepsilon } .
f ( x ) {\displaystyle f(x)} חסומה בסביבת a {\displaystyle a} , כלומר קיים δ 1 > 0 {\displaystyle \delta _{1}>0} כך שלכל 0 < | x − a | < δ 1 {\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}} מתקיים | f ( x ) | < M {\displaystyle {\bigl |}f(x){\bigr |}<M} עבור M > 0 {\displaystyle M>0} כלשהו.
קיים δ 2 > 0 {\displaystyle \delta _{2}>0} כך שלכל 0 < | x − a | < δ 2 {\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}} הפונקציה g ( x ) {\displaystyle g(x)} חיובית וכן g ( x ) > M ⋅ ε {\displaystyle g(x)>M\!\cdot \!\varepsilon } .
נבחר δ = min { δ 1 , δ 2 } {\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}} . לפיכך,
◼ {\displaystyle \blacksquare }
