אם lim x → a f ( x ) = L , lim x → a g ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=\infty } אז lim x → a [ f ( x ) + g ( x ) ] = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}=\infty } .
יש להראות כי לכל M {\displaystyle M} קיים δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כך שלכל 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } מתקיים f ( x ) + g ( x ) > M {\displaystyle f(x)+g(x)>M} .
f ( x ) {\displaystyle f(x)} חסומה וקיים δ 1 > 0 {\displaystyle \delta _{1}>0} כך שלכל 0 < | x − a | < δ 1 {\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}} מתקיים | f ( x ) | < A {\displaystyle {\bigl |}f(x){\bigr |}<A} עבור A > 0 {\displaystyle A>0} כלשהו, אזי f ( x ) > − A {\displaystyle f(x)>-A} .
לכל K {\displaystyle K} קיים δ 2 > 0 {\displaystyle \delta _{2}>0} כך שלכל 0 < | x − a | < δ 2 {\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}} מתקיים g ( x ) > K {\displaystyle g(x)>K} .
נבחר δ = min { δ 1 , δ 2 } {\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}} . לפיכך,
◼ {\displaystyle \blacksquare }
![{\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd840679b2b8d3a8c3d20cf98b4aa6265d51a1f)
