אם limx→af(x)=L , limx→ag(x)=∞{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=\infty } אז limx→a[f(x)+g(x)]=∞{\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}=\infty } .
יש להראות כי לכל M{\displaystyle M} קיים δ>0{\displaystyle \delta >0} כך שלכל 0<|x−a|<δ{\displaystyle 0<|x-a|<\delta } מתקיים f(x)+g(x)>M{\displaystyle f(x)+g(x)>M} .
f(x){\displaystyle f(x)} חסומה וקיים δ1>0{\displaystyle \delta _{1}>0} כך שלכל 0<|x−a|<δ1{\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}} מתקיים |f(x)|<A{\displaystyle {\bigl |}f(x){\bigr |}<A} עבור A>0{\displaystyle A>0} כלשהו, אזי f(x)>−A{\displaystyle f(x)>-A} .
לכל K{\displaystyle K} קיים δ2>0{\displaystyle \delta _{2}>0} כך שלכל 0<|x−a|<δ2{\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}} מתקיים g(x)>K{\displaystyle g(x)>K} .
נבחר δ=min{δ1,δ2}{\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}} . לפיכך,
◼{\displaystyle \blacksquare }
![{\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd840679b2b8d3a8c3d20cf98b4aa6265d51a1f)
