הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/שקילות הגדרות הגבול

משפט

הטענות הבאות שקולות:

1. $\lim _{x\to a}f(x)=L$ .
2. לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$ .
3. לכל סדרה $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ המקיימת $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ ו־$x_{n}\neq a$ לכל $n$ , מתקיים $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L$ .

הוכחה

$2\iff 1$ מכיון שטענה 2 היא פשוט הגדרת הגבול (לפי קושי). לכן, עלינו להוכיח את השקילות בין הגדרות הגבול של קושי ושל היינה, כלומר $3\iff 2$ .

נוכיח $3\Leftarrow 2$ .

תהי $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה המקיימת $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ ו־$x_{n}\neq a$ לכל $n$ .

יהי $\varepsilon >0$ . קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$ . מהגדרת הגבול קיים $k\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>k$ מתקיים $|x_{n}-a|<\delta$ .

מאחר ו־$x_{n}\neq a$ לכל $n$ מתקיים $0<|x_{n}-a|<\delta$ . אזי עבור $k$ זה ועבור $x=x_{n}$ נקבל כי ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$ , כלומר $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L$ .

$\blacksquare$

נוכיח $1\Leftarrow 3$ .

נניח כי לכל סדרה $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ המקיימת $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ ו־$x_{n}\neq a$ לכל $n$ , מתקיים $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L$ ונוכיח כי $\lim _{x\to a}f(x)=L$ .

נניח בשלילה כי $\lim _{x\to a}f(x)\neq L$ . לכן לפי טענה 2 (היא שקולה לטענה 1), קיים $\varepsilon >0$ כך שלכל $\delta >0$ קיים $x$ המקיים $0<|x-a|<\delta$ עבורו ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}\geq \varepsilon$ .

בפרט, לכל $n$ קיים $x_{n}$ המקיים $|x_{n}-a|<{\frac {1}{n}}$ עבורו ${\bigl |}f(x_{n})-L{\bigr |}\geq \varepsilon$ . אזי $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})\neq L$ וזוהי סתירה להנחה שלנו. לכן $\lim _{x\to a}f(x)=L$ .

$\blacksquare$

אזי $1\Leftarrow 3\Leftarrow 2\Leftarrow 1$ , והטענות הן שקולות.