- משפט
הסדרה
מתכנסת (לגבול סופי) אם ורק אם היא סדרת קושי. כלומר, היא מתכנסת אם ורק אם לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
.
- הוכחה
נניח כי
. לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
. נבחר מספרים
ונקבל כי

המעבר השני הוא שימוש באי־שוויון המשולש. אזי הסדרה היא סדרת קושי.
נניח כי
היא סדרת קושי. ראשית, נוכיח כי היא חסומה. לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
. אזי לכל
מתקיים
אז הסדרה חסומה בקטע
. בקטע
יש לסדרה רק מספר סופי של אברים ולכן היא חסומה שם. לפיכך, הסדרה חסומה על כל הישר הממשי.
על־פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה חסומה יש תת־סדרה מתכנסת. לכן לסדרה יש תת־סדרה המתכנסת לגבול שנסמנו
.
נוכיח כי זהו למעשה הגבול של הסדרה. נסמן את תת־הסדרה
. קיים
כך שלכל
מתקיים
.
מהתכנסות תת־הסדרה נקבל כי לכל
מתקיים
.
אזי לכל
מתקיים

לכן
.