אם f {\displaystyle f} גזירה בקטע ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} ומתקיים f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} לכל x ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} , אזי f {\displaystyle f} קבועה בקטע ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} .
יהיו x 1 , x 2 ∈ ( a , b ) {\displaystyle x_{1},x_{2}\in (a,b)} ונניח ללא הגבלת הכלליות כי x 1 < x 2 {\displaystyle x_{1}<x_{2}} .
f {\displaystyle f} גזירה בקטע ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , ובפרט גזירה בקטע הפתוח ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2})} ורציפה בקטע הסגור [ x 1 , x 2 ] {\displaystyle [x_{1},x_{2}]} .
תנאי משפט הערך הממוצע של לגראנז' מתקיימים, לפיכך קיים c ∈ ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle c\in (x_{1},x_{2})} עבורו
מכך נובע כי f ( x 2 ) − f ( x 1 ) = 0 {\displaystyle f(x_{2})-f(x_{1})=0} , כלומר f ( x 1 ) = f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})} .
לכן f {\displaystyle f} קבועה בקטע ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} .
◼ {\displaystyle \blacksquare }
גזירה בקטע 
ומתקיים 
לכל 
, אזי קבועה בקטע .
ונניח ללא הגבלת הכלליות כי 
.
גזירה בקטע , ובפרט גזירה בקטע הפתוח 
ורציפה בקטע הסגור ![{\displaystyle [x_{1},x_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91bdff343d848c2b70c68b5c04a2479b14a9fef0)
.
עבורו
, כלומר 
.
קבועה בקטע .
