הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/משפט הערך הממוצע של לגראנז'

משפט

תהי פונקציה רציפה בקטע הסגור וגזירה בקטע הפתוח . אזי קיימת נקודה עבורה .

הוכחה ישירה

תהי משוואת הישר העובר בנקודות , רציפה וגזירה בכל הקטע ונגזרתה קבועה .

נגדיר פונקציה נוספת , רציפה בקטע כהפרש פונקציות רציפות, גזירה בקטע כהפרש פונקציות גזירות, ומקיימת .

מקיימת את שלושת תנאי משפט רול, לפיכך קיימת נקודה עבורה  :

הוכחה באמצעות משפט הערך הממוצע של קושי

משפט הערך הממוצע של קושי מהווה הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' ומוכח ללא תלות במשפט לגראנז'.

אם רציפות בקטע , גזירות בקטע ומתקיים לכל , אזי קיימת נקודה עבורה .

היא פונקציה רציפה וגזירה על כל הישר הממשי ונגזרתה לא מתאפסת אף פעם, לכן ניתן להשתמש עליה במשפט קושי ונקבל: