- משפט
תהי פונקציה רציפה בקטע הסגור וגזירה בקטע הפתוח . אזי קיימת נקודה עבורה .
- הוכחה ישירה
תהי משוואת הישר העובר בנקודות , רציפה וגזירה בכל הקטע ונגזרתה קבועה .
נגדיר פונקציה נוספת , רציפה בקטע כהפרש פונקציות רציפות, גזירה בקטע כהפרש פונקציות גזירות, ומקיימת .
מקיימת את שלושת תנאי משפט רול, לפיכך קיימת נקודה עבורה :
- הוכחה באמצעות משפט הערך הממוצע של קושי
משפט הערך הממוצע של קושי מהווה הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' ומוכח ללא תלות במשפט לגראנז'.
אם רציפות בקטע , גזירות בקטע ומתקיים לכל , אזי קיימת נקודה עבורה .
היא פונקציה רציפה וגזירה על כל הישר הממשי ונגזרתה לא מתאפסת אף פעם, לכן ניתן להשתמש עליה במשפט קושי ונקבל: