הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/חיוביות (שליליות) הנגזרת גוררת שהפונקציה מונוטונית עולה (יורדת)

משפט

אם גזירה בקטע ומתקיים לכל , אזי מונוטונית עולה בקטע .

הוכחה

יהיו ונניח ללא הגבלת הכלליות כי .

גזירה בקטע , ובפרט גזירה בקטע הפתוח ורציפה בקטע הסגור .

תנאי משפט הערך הממוצע של לגראנז' מתקיימים, לפיכך קיים עבורו

מכך נובע כי . לכן מונוטונית עולה בקטע .

משפט

אם גזירה בקטע ומתקיים לכל , אזי מונוטונית יורדת בקטע .

הוכחה

ההוכחה דומה מאוד להוכחה לעיל. ההבדל היחיד הוא שכאן נקבל כי ולכן מונוטונית יורדת בקטע .