הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/חיוביות (שליליות) הנגזרת גוררת שהפונקציה מונוטונית עולה (יורדת)

משפט

אם $f$ גזירה בקטע $(a,b)$ ומתקיים $f'(x)\geq 0$ לכל $x\in (a,b)$ , אזי $f$ מונוטונית עולה בקטע $(a,b)$ .

הוכחה

יהיו $x_{1},x_{2}\in (a,b)$ ונניח ללא הגבלת הכלליות כי $x_{1}<x_{2}$ .

$f$ גזירה בקטע $(a,b)$ , ובפרט גזירה בקטע הפתוח $(x_{1},x_{2})$ ורציפה בקטע הסגור $[x_{1},x_{2}]$ .

תנאי משפט הערך הממוצע של לגראנז' מתקיימים, לפיכך קיים $c\in (x_{1},x_{2})$ עבורו

$f'(c)={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\geq 0$

מכך נובע כי $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ . לכן $f$ מונוטונית עולה בקטע $(a,b)$ .

$\blacksquare$

משפט

אם $f$ גזירה בקטע $(a,b)$ ומתקיים $f'(x)\leq 0$ לכל $x\in (a,b)$ , אזי $f$ מונוטונית יורדת בקטע $(a,b)$ .

הוכחה

ההוכחה דומה מאוד להוכחה לעיל. ההבדל היחיד הוא שכאן נקבל כי $f(x_{1})\geq f(x_{2})$ ולכן $f$ מונוטונית יורדת בקטע $(a,b)$ .

$\blacksquare$