הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/נגזרת של מכפלת פונקציות

משפט

אם הפונקציות $f,g$ גזירות, אזי ${\frac {d}{dx}}{\bigl (}f(x)\cdot g(x){\bigr )}=g(x)\cdot {\frac {d}{dx}}f(x)+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}g(x)$ .

הוכחה ישירות מהגדרת הנגזרת

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\big (}f(x)\cdot g(x){\big )}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-{\color {blue}f(x)g(x+h)}+{\color {blue}f(x)g(x+h)}-f(x)g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}g(x+h)\cdot {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+\lim _{h\to 0}f(x)\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}g(x+h)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+\lim _{h\to 0}f(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=g(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+f(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=g(x)\cdot {\frac {d}{dx}}f(x)+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}g(x)\end{aligned}}$$

המעבר $\lim _{h\to 0}g(x+h)=g(x)$ הוא מפני ש־$g$ רציפה ב־$x$ (גזירות בנקודה גוררת רציפות בה).

$\blacksquare$

הוכחה דרך גזירה לוגריתמית

נסמן $y=f(x)g(x)$ . אזי מתקיים:

$$\ln(y)=\ln {\bigl |}f(x)g(x){\bigr |}=\ln {\bigl |}f(x){\bigr |}+\ln {\bigl |}g(x){\bigr |}$$

נגזור לפי כלל השרשרת ונקבל:

$${\begin{matrix}{\dfrac {y'}{y}}={\dfrac {f'(x)}{f(x)}}+{\dfrac {g'(x)}{g(x)}}\\y'=f(x)g(x)\left({\dfrac {f'(x)}{f(x)}}+{\dfrac {g'(x)}{g(x)}}\right)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\end{matrix}}$$

$\blacksquare$

הערה: במבט ראשון, הוכחה זו עלולה להידמות כבעלת הגיון מעגלי אבל למעשה נוסחת כלל השרשרת ונגזרת הלוגריתם הטבעי ניתנות להוכחה באופן עצמאי לחלוטין, ללא שימוש בכלל למכפלת נגזרות.