הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן דיריכלה

משפט

תהי סדרה מונוטונית שואפת ל־0 ותהי סדרה עבורה קיים כך שלכל מתקיים .

אזי הטור מתכנס.

הוכחהעריכה

שלב אעריכה

תהי   סדרת הסכומים החלקיים של   . אם נגדיר   נוכל לרשום לכל  

 

ולכן

 

שלב בעריכה

נניח ללא הגבלת הכלליות כי   מונוטונית יורדת וחיובית, כלומר   . אנו רשאים לעשות כן, שכן אם   מונוטונית עולה ושלילית, הרי הסדרה   היא מונוטונית יורדת וחיובית,

ואם   מתכנס, גם   מתכנס, כי הוא כפל בקבוע של טור מתכנס.

כעת נוכיח שהטור   מתכנס בהחלט, ובפרט מתכנס.

נתון כי   חסומה, כלומר   . אזי לכל   טבעי מתקיים

 

סדרת הסכומים החלקיים הזו חסומה ומונוטונית עולה, שכן כל אבריה אי־שליליים. לכן היא מתכנסת, כלומר   מתכנס בהחלט ובפרט מתכנס.

שלב געריכה

לפי כלל הסנדוויץ' לסדרות מתקיים

 

שלב דעריכה

נשוב לנוסחא בסוף שלב א, ונשתמש במסקנותינו משלבים ב ו־ג, ונקבל לפי אריתמטיקה של גבולות: