הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן ההשוואה הגבולי

משפט

יהיו טורים חיוביים.

  1. אם סופי אז מתכנס אם ורק אם מתכנס.
  2. אם אז מהתכנסות נובעת התכנסות .
  3. אם אז מהתכנסות נובעת התכנסות .
הוכחה (1)

מהגדרת הגבול לכל קיים כך שלכל מתקיים . נקבל כי .

אם מתכנס, אז לפי מבחן ההשוואה מתכנס וזה כמובן אם ורק אם מתכנס.

אם מתבדר, אז לפי מבחן ההשוואה מתבדר וזה כמובן אם ורק אם מתבדר.

הוכחה (2)

מהגדרת הגבול קיים כך שלכל מתקיים או . לכן לפי מבחן ההשוואה אם מתכנס אז מתכנס.

הוכחה (3)

מהגדרת הגבול קיים כך שלכל מתקיים או . לכן לפי מבחן ההשוואה אם מתכנס אז מתכנס.