הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן ההשוואה הגבולי

משפט

יהיו $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ טורים חיוביים.

1. אם $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\neq 0$ סופי אז $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס אם ורק אם $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתכנס.
2. אם $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0$ אז מהתכנסות $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ נובעת התכנסות $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ .
3. אם $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty$ אז מהתכנסות $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ נובעת התכנסות $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ .

הוכחה (1)

מהגדרת הגבול $L$ לכל $\varepsilon >0$ קיים $k$ כך שלכל $n>k$ מתקיים $L-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<L+\varepsilon$ . נקבל כי $(L-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(L+\varepsilon )b_{n}$ .

אם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס, אז לפי מבחן ההשוואה $\sum _{n=1}^{\infty }(L-\varepsilon )b_{n}$ מתכנס וזה כמובן אם ורק אם $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתכנס.

אם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר, אז לפי מבחן ההשוואה $\sum _{n=1}^{\infty }(L+\varepsilon )b_{n}$ מתבדר וזה כמובן אם ורק אם $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתבדר.

$\blacksquare$

הוכחה (2)

מהגדרת הגבול קיים $k$ כך שלכל $n>k$ מתקיים $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-0\right|={\frac {a_{n}}{b_{n}}}<1$ או $a_{n}<b_{n}$ . לכן לפי מבחן ההשוואה אם $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתכנס אז $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס.

$\blacksquare$

הוכחה (3)

מהגדרת הגבול קיים $k$ כך שלכל $n>k$ מתקיים ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>1$ או $a_{n}>b_{n}$ . לכן לפי מבחן ההשוואה אם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס אז $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתכנס.

$\blacksquare$