הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן העיבוי (הדילול)

משפט (מבחן העיבוי / מבחן הדילול)

תהי סדרה חיובית ומונוטונית יורדת עבורה .

אזי הטור מתכנס אם ורק אם הטור מתכנס.

הוכחה

ראשית נעיר כי למעשה הטורים לא רק מתכנסים יחדיו אלא גם מתבדרים יחדיו. זה נובע ישירות מהוכחת ההתכנסות שכן אם אחד מהם מתבדר, ניתן להניח בשלילה שהאחר מתכנס ואז נקבל כי שניהם מתכנסים וזוהי סתירה.

נניח כי מתכנס ונראה כי מתכנס.

לכל טבעי ניקח טבעי עבורו (נשים לב כי בהכרח קיים כזה ). לכן:

נקבל ממבחן ההשוואה כי מתכנס.

כעת נוכיח את הכיוון ההפוך. נניח כי מתכנס ונתבונן בסדרת הסכומים החלקיים שלו:

הסדרה מונוטונית יורדת, ומתקיים למשל

לכן באופן כללי .

מהתכנסות נקבל כי מתכנסת, וממבחן ההשוואה נקבל כי מתכנסת ולכן מתכנס.