הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן לייבניץ לטורים מתחלפים

משפט

תהי סדרה חיובית ומונוטונית יורדת ושואפת ל־0. אזי הטור המתחלף מתכנס.

הוכחה

נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים בעלי האינדקס הזוגי , כאשר .

מהגדרת נקבל כי

כל אבר בסוגריים חיובי שכן מונוטונית יורדת, לכן לכל . אזי מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ומתכנסת לגבול .

סדרת הסכומים החלקיים בעלי האינדקס האי־זוגי גם כן מתכנסת (על סמך נימוק דומה: היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע) אך ניתן להסיק על התכנסותה ולחשב את סכומה ישירות בעזרת אריתמטיקה של גבולות.

מצאנו כי וידוע כי , אזי:

לפיכך, גם סדרת הסכומים החלקיים בעלי האינדקס הזוגי וגם סדרת הסכומים החלקיים בעלי האינדקס האי־זוגי מתכנסות ולאותו הגבול .

התפצלות סדרה למספר סופי של תת־סדרות אשר כולן מתכנסות לאותו הגבול גוררת את התכנסות הסדרה לגבול זה, לכן ועל כן הטור מתכנס.