הוכחות מתמטיות/שונות/e מספר טרנסצנדנטי

הקבוע המתמטי הוא מספר טרנסצנדנטי (אי־אלגברי). כלומר אינו שורש של אף פולינום במקדמים שלמים.

הוכחה

עריכה

נניח בשלילה כי   אלגברי, כלומר קיים פולינום

 

עבורו  .

יהי   פולינום ממעלה  . נגדיר  . נגזור ונקבל כי

 

נגדיר  . נגזור ונקבל כי

 

כיון שהפונקציה   גזירה, ניישם את משפט הערך הממוצע של לגראנז' מעל הקטע   כאשר  . לכן קיים   עבורו

 

נסמן

 

נסכום ונקבל כי

 

למה: יהי   פולינום בעל שורש   מריבוי  . אזי   לכל  .

הוכחה: באינדוקציה שלמה.

נרשום  , כאשר   פולינום עבורו  .

עבור   מתקיים:

 

נניח כי לכל   הטענה מתקיימת לכל  .
נוכיח כי עבור   הטענה מתקיימת לכל  :

 

הביטוי הכחול מריבוי  , כאשר   פולינום עבורו  .
לכן מכפלתם מקיימת את הנחת האינדוקציה.

 

עתה נגדיר פולינום

 

כאשר   מספר ראשוני המקיים  . מתקיים כי

 

לכן לכל   הפונקציה   היא פולינום במקדמים שלמים המתחלקים כולם ב־ .


לפי חלק ב, לכל   מתקיים

 

ולכן   מספר שלם המתחלק ב־ .

לעומת זאת, עבור   מתקיים

 

אך  , והמספרים   אינם מתחלקים ב־ . לכן   לא מתחלק ב־ .

מסקנה:   הוא מספר שלם שאינו מתחלק ב־ , ובפרט  .

לפי חלק א, לכל   מתקיים  . לכן

 

על־פי אי־שוויון המשולש מתקיים

 

אך  , כלומר עבור   גדול מספיק מתקיים  . סתירה.

 

מסקנה:   מספר טרנסצנדנטי (אי־אלגברי).