נניח בשלילה כי אלגברי, כלומר קיים פולינום
-
עבורו .
יהי פולינום ממעלה . נגדיר . נגזור ונקבל כי
-
נגדיר . נגזור ונקבל כי
-
כיון שהפונקציה גזירה, ניישם את משפט הערך הממוצע של לגראנז' מעל הקטע כאשר . לכן קיים עבורו
-
נסמן
-
נסכום ונקבל כי
-
למה: יהי פולינום בעל שורש מריבוי . אזי לכל .
הוכחה: באינדוקציה שלמה.
נרשום , כאשר פולינום עבורו .
עבור מתקיים:
-
נניח כי לכל הטענה מתקיימת לכל .
נוכיח כי עבור הטענה מתקיימת לכל :
-
הביטוי הכחול מריבוי , כאשר פולינום עבורו .
לכן מכפלתם מקיימת את הנחת האינדוקציה.
עתה נגדיר פולינום
-
כאשר מספר ראשוני המקיים . מתקיים כי
-
לכן לכל הפונקציה היא פולינום במקדמים שלמים המתחלקים כולם ב־ .
לפי חלק ב, לכל מתקיים
-
ולכן מספר שלם המתחלק ב־ .
לעומת זאת, עבור מתקיים
-
אך , והמספרים אינם מתחלקים ב־ . לכן לא מתחלק ב־ .
מסקנה: הוא מספר שלם שאינו מתחלק ב־ , ובפרט .
לפי חלק א, לכל מתקיים . לכן
-
על־פי אי־שוויון המשולש מתקיים
-
אך , כלומר עבור גדול מספיק מתקיים . סתירה.
מסקנה: מספר טרנסצנדנטי (אי־אלגברי).