הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין

אם וגם אזי .

כלומר, אם קיימת פונקצייה חד-חד-ערכית מהקבוצה לקבוצה וקיימת פונקצייה חד-חד-ערכית מהקבוצה לקבוצה , אזי קיימת פונקצייה שקילות (חד-חד-ערכית ועל) מהקבוצה לקבוצה .

הוכחה

עריכה

הוכחה זו מסתמכת על למת נקודת השבת.

לפי הנתון קיימות   ו-  שהינן חח"ע.

נגדיר פונקצייה חדשה   באופן הבא:  .
נוכיח שהיא שומרת הכלה:
תהיינה   כך ש- .
 , כי   פונקציה.
 
 , כי   פונקציה.
  כנדרש.

לפי למת נקודת השבת קיימת   עבורה  , ולכן מתקיים  .
מכאן נובע ש-  חח"ע ועל, ולכן קיימת ההופכית   שהינה חח"ע ועל גם כן.

כעת נוכל להגדיר את פונקציית השקילות   באופן הבא:
 
נשים לב כי   וכמו כן  , ולכן היא על:  .
בנוסף   חח"ע, כי הינה חח"ע בתחום   (כי   חח"ע) ובתחום   (כי   חח"ע), והטווחים של שני התחומים הללו זרים.
בסך הכל קיבלנו כי   הינה פונקציית שקילות כנדרש.