הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין
אם וגם אזי .
כלומר, אם קיימת פונקצייה חד-חד-ערכית מהקבוצה לקבוצה וקיימת פונקצייה חד-חד-ערכית מהקבוצה לקבוצה , אזי קיימת פונקצייה שקילות (חד-חד-ערכית ועל) מהקבוצה לקבוצה .
הוכחה
עריכההוכחה זו מסתמכת על למת נקודת השבת.
לפי הנתון קיימות ו- שהינן חח"ע.
נגדיר פונקצייה חדשה באופן הבא: .
נוכיח שהיא שומרת הכלה:
תהיינה כך ש- .
, כי פונקציה.
, כי פונקציה.
כנדרש.
לפי למת נקודת השבת קיימת עבורה ,
ולכן מתקיים .
מכאן נובע ש- חח"ע ועל, ולכן קיימת ההופכית שהינה חח"ע ועל גם כן.
כעת נוכל להגדיר את פונקציית השקילות באופן הבא:
נשים לב כי וכמו כן , ולכן היא על: .
בנוסף חח"ע, כי הינה חח"ע בתחום (כי חח"ע) ובתחום (כי חח"ע), והטווחים של שני התחומים הללו זרים.
בסך הכל קיבלנו כי הינה פונקציית שקילות כנדרש.