משפט: ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}}
הוכחה:
בדיקה: ∑ k = 1 1 k = 1 ( 1 + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{1}k={\frac {1(1+1)}{2}}}
מכיוון ראשון, ∑ k = 1 1 k = 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{1}k=1} .
מכיוון שני, 1 ( 1 + 1 ) 2 = 1 {\displaystyle {\frac {1(1+1)}{2}}=1} .
על כן הטענה נכונה עבור n = 1 {\displaystyle n=1} .
נניח כי הטענה נכונה עבור n {\displaystyle n} : ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}}
נוכיח נכונות עבור n + 1 {\displaystyle n+1} : ∑ k = 1 n + 1 k = ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}k={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}
מכיוון ראשון אנו יודעים כי סכום האיברים עד האיבר ה- n + 1 {\displaystyle n+1} שווה לסכום האיברים עד האיבר ה- n {\displaystyle n} ועוד האיבר האחרון: ∑ k = 1 n + 1 k = ∑ k = 1 n k + ( n + 1 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}k=\sum _{k=1}^{n}k+(n+1)}
על פי הנחה: ∑ k = 1 n k ⏟ n ( n + 1 ) 2 + ( n + 1 ) = ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 {\displaystyle \underbrace {\sum _{k=1}^{n}k} _{\frac {n(n+1)}{2}}+(n+1)={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}
n ( n + 1 ) 2 + n + 1 = ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}+n+1={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}
n ( n + 1 ) + 2 n + 2 = ( n + 1 ) ( n + 2 ) {\displaystyle n(n+1)+2n+2=(n+1)(n+2)}
n 2 + n + 2 n + 2 = n 2 + 2 n + n + 2 {\displaystyle n^{2}+n+2n+2=n^{2}+2n+n+2}
.
.
.
:
:
שווה לסכום האיברים עד האיבר ה- ועוד האיבר האחרון: 
