חשבון אינפיניטסימלי/סימן הסכימה

הגדרה

סכימה (Summation) מיוצגת על ידי סימן הסכימה, האות היוונית סיגמא, $\Sigma$ והיא מוגדרת כך:

יהי סדרה של מספרים $a_{m},a_{m+1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ כאשר $m,n\in \mathbb {Z}$ כך שמתקיים $m\leq n$ , אזי נכתוב כי סכום האיברים הוא: $\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$.

• $k$ נקרא אינדקס הסכימה.

לחלופין, ניתן לקרוא את הצורה $\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$ כסכום של הסדרה כאשר אנו רצים על אינדקס הסכימה ($k$) מהאות $m$ ועד האות $n$.

דוגמה 1

$\sum _{p=3}^{7}{\frac {1}{2^{p}}}={\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{2^{7}}}={\frac {31}{128}}$

דוגמה 2

רשום את הסכום $5^{3}+5^{4}+5^{5}+\cdots +5^{n}$ תוך שימוש בסימן הסכימה.

תשובה: ישנן דרכים רבות לכתוב סכום זה בשימוש בסימן הסכימה. אין דרך יחודית כלשהי. שתים מהדרכים הן:

$5^{3}+5^{4}+5^{5}+\cdots +5^{n}=\sum _{k=3}^{n}5^{k}=\sum _{k=1}^{n-2}{5^{k+2}}$

דוגמא 3

חשב את $\sum _{k=1}^{n}k^{2}(2k-1)$ (הבע באמצעות $n$)

תשובה: נשתמש בכללים שהגדרנו קודם לכן ובזהויות הנ"ל ונקבל:

$\sum _{k=1}^{n}k^{2}(2k-1)=\sum _{k=1}^{n}(2k^{3}-k^{2})=\sum _{k=1}^{n}2k^{3}-\sum _{k=1}^{n}k^{2}=2\sum _{k=1}^{n}k^{3}-\sum _{k=1}^{n}k^{2}$

${\begin{matrix}=2\cdot {\dfrac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}-{\dfrac {n({n+1})(2n+1)}{6}}={\dfrac {3n^{2}(n+1)^{2}-n(n+1)(2n+1)}{6}}\\={\dfrac {n(n+1)[3n(n+1)-(2n+1)]}{6}}={\dfrac {n(n+1)(3n^{2}+3n-2n-1)}{6}}\\={\dfrac {n(n+1)(3n^{2}+n-1)}{6}}\end{matrix}}$

כללים לשימוש בסימן הסכימה

כלל 1: $\sum _{k=m}^{n}c\cdot a_{k}=c\cdot \sum _{k=m}^{n}a_{k}$

הוכחה: נפתח את שני אגפי הביטוי: $ca_{m}+ca_{m+1}+\cdots +ca_{n}=c(a_{m}+a_{m+1}+\cdots +a_{n})$ ולפי חוק הפילוג, זה מוכיח את הכלל.

כלל 2: $\sum _{k=m}^{n}(a_{k}\pm b_{k})=\sum _{k=m}^{n}a_{k}\pm \sum _{k=m}^{n}b_{k}$

הוכחה: נפתח את שני אגפי הביטוי: $(a_{m}\pm b_{m})+\cdots +(a_{n}\pm b_{n})=(a_{m}+\cdots +a_{n})\pm (b_{m}+b_{m+1}+\cdots +b_{n})$ ולפי חוק הקיבוץ וחוק החילוף, זה מוכיח את הכלל.

זהויות ידועות

הזהויות הבאות הן שימושיות ביותר תוך עבודה עם סימן הסכימה. יהי $c$ קבוע ויהי $n$ מספר שלם חיובי, אזי מתקיימות הזהויות הבאות:

זהות 1: $\sum _{k=1}^{n}c=nc$. (הוכחה)

זהות 2: $\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}$ (הוכחה - טור המספרים הטבעיים)

ניתן להוכיח זהות זו באמצעות שימוש בנוסחא לסכום סדרה חשבונית, כאשר הפרש האברים בסדרה הוא 1.

זהות 3 (סכום ריבועים): $\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ (הוכחה - סכום ריבועים)

זהות 4: $\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}$ (הוכחה)

זהות 5: $\sum _{k=1}^{n}x^{k}={\frac {x(x^{n}-1)}{x-1}}$ (הוכחה)

ניתן להוכיח זהות זו באמצעות שימוש בנוסחה לסכום סדרה הנדסית, כאשר מנת אבריה היא $x$ .

זהות 6 (סכום מספרים אי-זוגיים): $\sum _{i=1}^{n}2i-1=n^{2}$ (הוכחה - סכום מספרים אי זוגיים)

זהויות אלו מובאות כאן עבור המקרה $k=1$ מטעמי נוחיות, אך מובן כי ניתן להכלילן עבור כל $k=m$ כלשהו. את כולן ניתן להוכיח באמצעות אינדוקציה מתמטית על $n$ .

קישורים חיצוניים

• תרגילים (עם פתרונות מלאים) בשימוש בסימן הסכימה (מומלץ)