חשבון אינפיניטסימלי/סימן הסכימה

הגדרה

עריכה

סכימה (Summation) מיוצגת על ידי סימן הסכימה, האות היוונית סיגמא,   והיא מוגדרת כך:

יהי סדרה של מספרים   כאשר   כך שמתקיים   , אזי נכתוב כי סכום האיברים הוא:  .

  •   נקרא אינדקס הסכימה.

לחלופין, ניתן לקרוא את הצורה   כסכום של הסדרה כאשר אנו רצים על אינדקס הסכימה ( ) מהאות   ועד האות  .

דוגמה 1

עריכה

 

דוגמה 2

עריכה

רשום את הסכום   תוך שימוש בסימן הסכימה.

תשובה: ישנן דרכים רבות לכתוב סכום זה בשימוש בסימן הסכימה. אין דרך יחודית כלשהי. שתים מהדרכים הן:

 

דוגמא 3

עריכה

חשב את   (הבע באמצעות  )

תשובה: נשתמש בכללים שהגדרנו קודם לכן ובזהויות הנ"ל ונקבל:

 

 

כללים לשימוש בסימן הסכימה

עריכה

כלל 1:  

הוכחה: נפתח את שני אגפי הביטוי:   ולפי חוק הפילוג, זה מוכיח את הכלל.

כלל 2:  

הוכחה: נפתח את שני אגפי הביטוי:   ולפי חוק הקיבוץ וחוק החילוף, זה מוכיח את הכלל.

זהויות ידועות

עריכה

הזהויות הבאות הן שימושיות ביותר תוך עבודה עם סימן הסכימה. יהי   קבוע ויהי   מספר שלם חיובי, אזי מתקיימות הזהויות הבאות:

זהות 1:  . (הוכחה)

זהות 2:   (הוכחה - טור המספרים הטבעיים)

ניתן להוכיח זהות זו באמצעות שימוש בנוסחא לסכום סדרה חשבונית, כאשר הפרש האברים בסדרה הוא 1.

זהות 3 (סכום ריבועים):   (הוכחה - סכום ריבועים)

זהות 4:   (הוכחה)

זהות 5:   (הוכחה)


ניתן להוכיח זהות זו באמצעות שימוש בנוסחה לסכום סדרה הנדסית, כאשר מנת אבריה היא   .

זהות 6 (סכום מספרים אי-זוגיים):   (הוכחה - סכום מספרים אי זוגיים)


זהויות אלו מובאות כאן עבור המקרה   מטעמי נוחיות, אך מובן כי ניתן להכלילן עבור כל   כלשהו. את כולן ניתן להוכיח באמצעות אינדוקציה מתמטית על   .

קישורים חיצוניים

עריכה