חשבון אינפיניטסימלי/סימן הסכימה/הוכחה - סכום ריבועים

משפט: סכום ריבועים (Square pyramidal number) הינו $\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

הוכחה:

בסיס: $\sum _{k=1}^{1}k^{2}={\frac {1(1+1)(2+1)}{6}}$

מכיוון ראשון, $\sum _{k=1}^{1}k^{2}=1^{2}=1$

מכיוון שני, ${\frac {1(1+1)(2+1)}{6}}={\frac {6}{6}}=1$

נניח כי הטענה נכונה לכל $n$ :$\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

נוכיח את נכונותה לכל $n+1$: $\sum _{k=1}^{n+1}k^{2}={\frac {(n+1)(n+2)(2n+2+1)}{6}}$

מכיוון אחד, $\sum _{k=1}^{n+1}k^{2}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}+(n+1)^{2}$

על פי הנחת האינדוקציה $\underbrace {\sum _{k=1}^{n}k^{2}} _{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}+(n+1)^{2}={\frac {(n+1)(n+2)(2n+2+1)}{6}}$

${\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}+(n+1)^{2}={\frac {(n+1)(n+2)(2n+2+1)}{6}}$

$n(n+1)(2n+1)+6(n^{2}+2n+1)=(n^{2}+2n+n+2)(2n+3)$

$n(2n^{2}+3n+1)+6n^{2}+12n+6=2n^{3}+3n^{2}+4n^{2}+6n+2n^{2}+3n+4n+6$

$2n^{3}+3n^{2}+n+6n^{2}+12n+6=2n^{3}+3n^{2}+4n^{2}+6n+2n^{2}+3n+4n+6$

$n+6n^{2}+12n=4n^{2}+6n+2n^{2}+3n+4n$