חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי לתלמידי תיכון/פונקציות

פונקציות ממשיות

דוגמאות

(הסברים על פונקציות שאולי אינכם מכירים יבואו מייד בהמשך.)

1. $\ y=x^{2}$ - פונקציה זו מקבלת מספר ומעלה אותו בריבוע.
2. $\ f(x)=1/x$ - פונקציה זו מקבלת מספר ומחזירה את המספר ההופכי לו (מספרים הופכיים הם מספרים שמכפלתם 1).
3. $\ y=x+3-2x^{3}$ - פונקציה זו מקבלת מספר, מוסיפה לו 3 ומפחיתה מהתוצאה את פעמיים החזקה השלישית של המספר.
4. $\ f(x)={\sqrt {x}}$ - פונקציה זו מקבלת מספר ממשי ומחזירה את השורש החיובי שלו.
5. $\ y=\log(x)$ - פונקציה זו מקבלת מספר ומחזירה את הלוגריתם שלו.
6. $\ g(x)=\sin(x)$ - פונקציה זו מקבלת מספר ומחזירה את הסינוס שלו.
7. $\ x=4y-3$ - פונקציה זו מקבלת מספר, מכפילה אותו פי 4 ומפחיתה 3 מהתוצאה.

נשים לב כי בשתי הדוגמאות האחרונות השתמשנו בסימון שונה במקצת: בדוגמה 5 השתמשנו באות g במקום באות f כדי לסמן את הפונקציה. זהו מנהג מקובל במתמטיקה להשתמש במספר רב של אותיות כדי לסמן פונקציות, למקרים שבהם צריך להתייחס ליותר מאשר פונקציה אחת בו זמנית. לרוב משתמשים באותיות f,g,h.

בדוגמה 6 הצגנו את x כמשתנה תלוי ואת y בתור המשתנה הבלתי תלוי. מכאן אנו למדים שהשימוש ב-x בתור משתנה בלתי תלוי הוא מטעמי נוחות בלבד, ולעתים נשתמש דווקא בסימון ההפוך (נראה בהמשך דוגמה למקום שבו יש חשיבות להיפוך הזה). כדי לדעת עבור כל פונקציה מהו המשתנה התלוי ומהו המשתנה הבלתי תלוי, נזכור כי תמיד מצד שמאל של השוויון יופיע המשתנה הבלתי תלוי.

סוגי פונקציות

נערוך כעת היכרות קצרה עם סוגי הפונקציות העיקריים שאותם נפגוש בספר זה.

פולינומים

מספר דוגמאות בסיסיות לפולינומים הן:

• $\ y=x$
• $\ y=x^{2}+1$
• $\ y=5x^{3}-2x$

באופן כללי, פולינום הוא פונקציה שמורכבת מסכום חזקות שונות של $\ x$, כאשר כל אחת מהחזקות מוכפלת במספר ממשי כלשהו. המספרים שכופלים את החזקות נקראים מקדמי הפולינום. למשל, עבור הפולינום $\ y=2x^{2}+3x-4$ המקדמים הם $\ 2,3,-4$.

החזקות עצמן הן תמיד מספרים שלמים חיוביים. למשל, הפונקציה $\ y=x^{3/4}+x^{-3}$ אינה פולינום (אם כי נלמד לעבוד גם עם פונקציות כאלו בהמשך).

הצורה שבה כותבים פולינום באופן כללי היא זו:

• $\ y=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}$.

המספרים $\ a_{n},\dots ,a_{1},a_{0}$ הם מקדמי הפולינום, וייתכן שחלקם שווים לאפס.

נהוג לכנות את החזקה הגבוהה ביותר שמופיעה בפולינום בתור מעלת הפולינום. למשל, הפולינום $\ y=x^{2}+4x+1$ הוא פולינום ממעלה שנייה. שימו לב שגם $\ y=5$ הוא פולינום, על פי ההגדרה שנתנו, למרות שערכו קבוע ואינו תלוי ב-$\ x$. על פולינום כזה אומרים שהוא ממעלה 0 (ואכן, ניתן לחשוב על האיבר האחרון בפולינום כאילו הוא מייצג את החזקה $\ x^{0}$, שכן על פי חוקי החזקות, $\ x^{0}=1$).

פונקציה רציונלית

פונקציה רציונלית היא מנה של שני פולינומים. לדוגמה:

• $\ y={\frac {x^{2}+1}{3x^{7}-4x^{5}+1}}$

מקור השם הוא בכך ש-ratio הוא המילה עבור "יחס", ובאופן כללי מנה של שני איברים מייצגת את היחס ביניהם.

פונקציות טריגונומטריות

הפונקציות הטריגונומטריות מקבלות זווית ומחזירות את היחס בין שתי צלעות במשולש ישר זווית שאחת מזוויותיו האחרות היא זו שהתקבלה. למידע מפורט על הפונקציות הטריגונומטריות ועל הצורה שבה מרחיבים את ההגדרה לזווית כלשהי יש לעיין בספר טריגונומטריה. כאן נזכיר רק את שמות שלוש הפונקציות העיקריות:

• $\ y=\sin(x)$ (סינוס) - היא הפונקציה המקבלת זווית x ומחזירה את היחס בין הצלע שמול הזווית ובין היתר במשולש ישר זווית.
• $\ y=\cos(x)$ (קוסינוס) - היא הפונקציה המקבלת זווית x ומחזירה את היחס בין הצלע שליד הזווית ובין היתר במשולש ישר זווית.
• $\ y=\tan(x)$ (טנגנס) - היא הפונקציה המקבלת זווית x ומחזירה את היחס בין הצלע שמול הזווית ובין הצלע שליד הזווית במשולש ישר זווית.

ייתכן כי עד עתה מדדתם זוויות רק באמצעות מעלות. במתמטיקה קיימת שיטת מדידה נוספת לזוויות, באמצעות יחידות הנקראות רדיאנים, שמהוות, במובן מסויים, את היחידות ה"טבעיות" למדידת זווית. נפרט על שיטה זו ויתרונותיה בהמשך.

פונקציות מעריכיות

דוגמה לפונקציה מעריכית היא זו:

• $\ y=3^{x}$

נשים לב להבדל שבין פונקציה כזו ובין פולינום: בפולינום, האיבר $\ x$ היה נתון בחזקה קבועה. כעת $\ x$ עצמו הוא החזקה. בשל כך, פונקציות מעריכיות הן פונקציות שגדלות מהר בהרבה מאשר פולינומים. להשוואה, עבור $\ x=5$ נקבל $\ y=3^{x}=243$ ו-$\ y=x^{3}=125$, אבל עבור $\ x=10$ נקבל $\ y=3^{x}=59,049$ ולעומת זאת $\ y=x^{3}=1,000$.

עוד על תחום וטווח

• התחום של פונקציה הוא חלק מהגדרתה. הפונקציה $\ y=2x$ על התחום $\ [0,1]$ נבדלת מהפונקציה $\ y=2x$ על התחום $\ [0,2]$.
• הטווח של פונקציה צריך להכיל את כל הערכים שהפונקציה מחזירה על איברים מהתחום, אך הוא יכול להיות רחב יותר: למשל, עבור הפונקציה $\ y=x^{2}$, כאשר התחום הוא $\ \mathbb {R}$, הטווח צריך להיות $\ [0,\infty )$ (שכן כל מספר ממשי חיובי או אפס הוא ריבוע של מספר ממשי כלשהו), אך יכול להיות גם $\ \mathbb {R}$ בעצמו, למרות שאין מספר ממשי שריבועו הוא מספר שלילי.
• הקבוצה של כל המספרים שאותם הפונקציה יכולה לקבל ולהחזיר תוצאה בעלת משמעות נקראת תחום ההגדרה של הפונקציה. התחום של פונקציה תמיד חלקי לתחום ההגדרה שלה.
• הקבוצה של כל המספרים שאותם הפונקציה יכולה להחזיר עבור איברים מתוך תחום ההגדרה נקראת תמונת הפונקציה. הטווח של פונקציה תמיד מכיל את תמונתה.

נביא כעת תיאור של תחום ההגדרה ותמונת הפונקציה עבור הדוגמאות לפונקציות שהראינו למעלה, ולאחר מכן נפרט מהם הכללים המנחים בקביעת תחומי הגדרה באופן כללי.

1. הפונקציה $\ y=x^{2}$ מוגדרת לכל מספר ממשי, כי ניתן להעלות בריבוע כל מספר ממשי. לכן תחום ההגדרה הוא $\ \mathbb {R}$. מכיוון שכל מספר ממשי שמועלה בריבוע הוא אי שלילי, ולכל מספר ממשי אי שלילי קיים שורש, תמונת הפונקציה היא $\ x\geq 0$.
2. הפונקציה $\ f(x)=1/x$ אינה מוגדרת עבור $\ x=0$, שכן לא קיים מספר ממשי הופכי ל-0 (עבור כל מספר ממשי, מכפלתו ב-0 נותנת 0, ולכן לא ייתכן שיהיה מספר ממשי שמכפלתו ב-0 תיתן 1).
   במקרה זה ישנן מספר דרכים לכתוב את תחום ההגדרה: אפשר לכתוב בפשטות $\ x\neq 0$, מתוך הבנה שהכוונה היא ש-$\ x$ מקבל כל מספר ממשי פרט לזה שציינו במפורש שהוא אינו מקבל. אפשר גם לכתוב את כל התחומים האפשריים: $\ x>0$ או $\ x<0$.
   דרך סימון נוספת, שבה משתמשים לרוב באוניברסיטאות, היא בלשון קבוצות: $\ R-\left\{0\right\}$. כאן סימן החיסור פירושו "מהקבוצה שבצד שמאל הורד את האיברים ששייכים לקבוצה באגף ימין". כלומר, במקרה הזה הסימון אומר "כל המספרים הממשיים פרט ל-0".
   בדומה, גם תמונת הפונקציה היא $\ x\neq 0$, כי לא ניתן לקבל את 0 על ידי פעולת החלוקה הזו, אך ניתן לקבל את שאר המספרים.
3. עבור $\ y=x+3-2x^{3}$ תחום ההגדרה הוא $\ \mathbb {R}$. לעומת זאת, לא ברור כל כך איך ניתן למצוא את תמונת הפונקציה במקרה זה. בהמשך הלימודים נראה שניתן להראות כי במקרה זה, התמונה תהיה גם כן $\ \mathbb {R}$.
4. עבור הפונקציה $\ f(x)={\sqrt {x}}$ תחום ההגדרה הוא $\ x\geq 0$, וזאת מכיוון שניתן להוציא שורש לכל מספר ממשי אי שלילי, אך למספרים שליליים אין שורש ממשי. תמונת הפונקציה היא גם כן $\ x\geq 0$, שכן הגדרנו את הפונקציה לקחת את השורש החיובי מבין שני השורשים של המספר.
5. עבור $\ y=\log(x)$ תחום ההגדרה הוא $\ x>0$, שכן לוגריתם מוגדר רק עבור מספרים ממשיים חיוביים. התמונה היא $\ \mathbb {R}$ שכן ניתן לקבל כל מספר ממשי באמצעות לוגריתם.
6. עבור $\ g(x)=\sin(x)$ תחום ההגדרה הוא $\ \mathbb {R}$ שכן סינוס יכול לקבל כל מספר. לעומת זאת, התמונה היא $\ [-1,1]$, שכן סינוס מחזיר רק ערכים בין מינוס 1 ובין 1.
7. עבור $\ x=4y-3$ הן תחום ההגדרה והן התמונה הם $\ \mathbb {R}$.