מבוא לשיטות נומריות/אינטגרציה נומרית

הקדמהעריכה

אפשרי רק עבור אינטגרלים מסוימים (גבולות אינטגרציה נתונים). מתי:

  • כאשר יש לפתור אינטגרל מסובך או כאשר לא קיים פתרון אנליטי (לדוגמא   .
  • העדר פונקציה קדומה.
  • הפונקציה נתונה ע"י ערכים בדידים ולא כפונקציה מפורשת (כמו בניסויים לדוגמא).

שיטותעריכה

  1. ניוטון-קוטס:
    • שיטת הטרפז
    • שיטת סימפסון
    • שיטות נוספות לאינטגרלים מרובים.
  2. אינטגרלים מרובים:
    • שיטת אינטגרציה בסימולציה.

שיטות ניוטון-קוטסעריכה

מחליפים את הפונקציה (או הנקודות) הנתונה בקירוב פשוט יותר, ומבצעים אינטגרציה של הפונקציה המקורבת.

הקירוב נעשה ע"י אינטרפולציה פולינומיית ויש להחליט איזה עקום הכי קרוב לפונקציה המקורית.

שיטת הטרפז: ביצוע קירוב לפונקציה על ידי עקום מסדר 1 (קו ישר)עריכה

  • מחלקים את הקטע [a,b] ל-n קטעים שווים.
  • ככל שנגדיל את n, אז h יקטן והדיוק יגדל.   - גודל הקפיצה
  • שטח כל טרפז הוא:
 
  • כעת ניתן להגדיר:
 
  • נפתח את הביטוי ונקבל ביטוי פשוט יותר:
 
 
 
  • השגיאה:
  - השגיאה בכל מקטע
  - השגיאה הכוללת

ניתן לראות שהשגיאה קטנה ככל ש- n גדל.

שיטת סימפסוןעריכה

ביצוע קירוב לפונקציה ע"י אינטרפולציה ריבועית (עקום מסדר 2).

  • דרך כל 3 נקודות מקרבים את הפונקציה באמצעות פולינום מסדר 2 ומחשבים את האינטגרל, באמצעות שיטת לגראנז'.
  • מתחת לכל קירוב 3 נקודות ו-2 קטעים, ולכן n חייב להיות זוגי.

  - גודל הקפיצה

שטח כל מקטעעריכה

  - לפי לגראנז'
 

בכחול -  

באדום -  

בירוק -  

 

  • השטח הכולל:
 
 
 
  • השגיאה:
  עבור מקטע בודד

האינדקס (4) מציין נגזרת.

  - השגיאה הכוללת

שיטות נוספותעריכה

ביצוע קירוב לפונקציה ע"י פולינום מדרגה שלישית ומעלה.

  • עבור פולינום מדרגה שלישית:
 

4 נקודות במרווחים שווים.

אינטגרלים מרוביםעריכה

אינטגרלים כפולים (לא יעיל לאינטגרלים מסדר גבוה יותר).

  • כעת נדרוש   נקודות.
 
  • מספר הנקודות עולה בחזקת סדר האינטגרל: אינטגרל ב-10 ממדים ידרוש   נקודות, ולכן מאלץ אותנו ל-   חישובים ולכן לא יעיל.

שיטת האינטגרציה בסימולציהעריכה

  • נגדיר:  
  • נבחר:   שתהיה פונקציית צפיפות הסתברות.
  • אפשרות ל-   :

- התפלגות אחידה

- התפלגות משתנים אקראיים.

  • יצירת מספרים אקראיים מתוך   , וחישוב ערכי הפונקציות   עבור כל מספר אקראי.
  • חישוב האינטגרל באמצעות:  
 
  • הסבר: אנו מחשבים ערכים אקראיים ב-   בין a ל-b. אם נעשה ממוצע של כל סכומי הערכים הללו נקבל תוצאה יחסית מדויקת ל-I. הכפלת כל ערך בערך התפלגותו הסטטיסטי יוצר ממוצע משוקלל ומדויק יותר לסכום הערכים האקראיים.