ניוטון-קוטס:
שיטת הטרפז
שיטת סימפסון
שיטות נוספות לאינטגרלים מרובים.
אינטגרלים מרובים:
שיטת אינטגרציה בסימולציה. שיטות ניוטון-קוטס עריכה מחליפים את הפונקציה (או הנקודות) הנתונה בקירוב פשוט יותר, ומבצעים אינטגרציה של הפונקציה המקורבת.
הקירוב נעשה ע"י אינטרפולציה פולינומיית ויש להחליט איזה עקום הכי קרוב לפונקציה המקורית.
שיטת הטרפז: ביצוע קירוב לפונקציה על ידי עקום מסדר 1 (קו ישר) עריכה מחלקים את הקטע [a,b] ל-n קטעים שווים. ככל שנגדיל את n, אז h יקטן והדיוק יגדל.
h
=
b
−
a
n
{\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}
S
=
(
f
(
x
k
)
+
f
(
x
k
+
1
)
2
)
⋅
h
{\displaystyle S=\left({\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}}\right)\cdot h}
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
{
sum of all trapezoids from
x
0
until
x
n
}
=
∑
k
=
0
n
f
(
x
k
)
+
f
(
x
k
+
1
)
2
h
{\displaystyle I=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\{{\text{sum of all trapezoids from}}\ x_{0}\ {\text{until}}\ x_{n}\}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}}h}
נפתח את הביטוי ונקבל ביטוי פשוט יותר:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
h
2
∑
k
=
0
n
[
f
(
x
k
)
+
f
(
x
k
+
1
)
]
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx={\frac {h}{2}}\sum _{k=0}^{n}{\big [}f(x_{k})+f(x_{k+1}){\big ]}}
=
h
2
[
f
(
x
0
)
+
f
(
x
1
)
+
f
(
x
1
)
+
f
(
x
2
)
+
f
(
x
2
)
+
f
(
x
3
)
+
⋯
]
{\displaystyle ={\frac {h}{2}}{\Big [}f(x_{0})+f(x_{1})+f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{2})+f(x_{3})+\cdots {\Big ]}}
=
h
2
[
f
(
x
0
)
+
f
(
x
n
)
+
2
∑
k
=
1
n
−
1
f
(
x
k
)
]
{\displaystyle ={\frac {h}{2}}\left[f(x_{0})+f(x_{n})+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_{k})\right]}
E
k
=
−
1
12
f
″
(
c
)
(
x
k
−
x
k
−
1
)
2
n
3
x
k
−
1
≤
c
≤
x
k
{\displaystyle E_{k}=-{\frac {1}{12}}f''(c){\frac {(x_{k}-x_{k-1})^{2}}{n^{3}}}\quad x_{k-1}\leq c\leq x_{k}}
E
I
=
−
(
b
−
a
)
3
12
n
2
f
¯
″
{\displaystyle E_{I}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}{\bar {f}}''}
ניתן לראות שהשגיאה קטנה ככל ש- n גדל.
שיטת סימפסון עריכה ביצוע קירוב לפונקציה ע"י אינטרפולציה ריבועית (עקום מסדר 2).
דרך כל 3 נקודות מקרבים את הפונקציה באמצעות פולינום מסדר 2 ומחשבים את האינטגרל, באמצעות שיטת לגראנז'. מתחת לכל קירוב 3 נקודות ו-2 קטעים, ולכן n חייב להיות זוגי .
h
=
b
−
a
n
{\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}
שטח כל מקטע עריכה
S
=
∫
x
k
x
k
+
2
f
(
x
)
d
x
=
∫
x
k
x
k
+
2
f
^
(
x
)
d
x
{\displaystyle S=\int \limits _{x_{k}}^{x_{k+2}}f(x)dx=\int \limits _{x_{k}}^{x_{k+2}}{\hat {f}}(x)dx}
∫
x
k
x
k
+
2
=
[
(
x
−
x
k
+
1
)
(
x
−
x
k
+
2
)
(
x
k
−
x
k
+
1
)
(
x
k
−
x
k
+
2
)
⋅
f
(
x
k
)
+
(
x
−
x
k
)
(
x
−
x
k
+
2
)
(
x
k
+
1
−
x
k
)
(
x
k
+
1
−
x
k
+
2
)
⋅
f
(
x
k
+
1
)
+
(
x
−
x
k
)
(
x
−
x
k
+
1
)
(
x
k
+
2
−
x
k
)
(
x
k
+
2
−
x
k
+
1
)
⋅
f
(
x
k
+
2
)
]
{\displaystyle \int \limits _{x_{k}}^{x_{k+2}}=\left[{\color {Blue}{\frac {(x-x_{k+1})(x-x_{k+2})}{(x_{k}-x_{k+1})(x_{k}-x_{k+2})}}\cdot f(x_{k})}+{\color {Red}{\frac {(x-x_{k})(x-x_{k+2})}{(x_{k+1}-x_{k})(x_{k+1}-x_{k+2})}}\cdot f(x_{k+1})}+{\color {OliveGreen}{\frac {(x-x_{k})(x-x_{k+1})}{(x_{k+2}-x_{k})(x_{k+2}-x_{k+1})}}\cdot f(x_{k+2})}\right]}
בכחול -
L
0
(
x
)
{\displaystyle L_{0}(x)}
באדום -
L
1
(
x
)
{\displaystyle L_{1}(x)}
בירוק -
L
2
(
x
)
{\displaystyle L_{2}(x)}
=
x
k
+
2
−
x
k
6
(
f
(
x
k
)
+
4
f
(
x
k
+
1
)
+
f
(
x
k
+
2
)
)
{\displaystyle ={\frac {x_{k+2}-x_{k}}{6}}{\big (}f(x_{k})+4f(x_{k+1})+f(x_{k+2}){\big )}}
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
{
sum area of all segments
}
=
∫
a
=
x
0
x
2
f
^
(
x
)
d
x
+
∫
x
2
x
4
f
^
(
x
)
d
x
+
⋯
+
∫
x
n
−
2
x
n
f
^
(
x
)
d
x
{\displaystyle I=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\{{\text{sum area of all segments}}\}=\int \limits _{a=x_{0}}^{x_{2}}{\hat {f}}(x)dx+\int \limits _{x_{2}}^{x^{4}}{\hat {f}}(x)dx+\cdots +\int \limits _{x_{n-2}}^{x_{n}}{\hat {f}}(x)dx}
=
h
6
[
f
(
x
0
)
+
4
f
(
x
1
)
+
f
(
x
2
)
]
+
h
6
[
f
(
x
2
)
+
4
f
(
x
3
)
+
f
(
x
4
)
]
+
⋯
+
h
6
[
f
(
x
n
−
2
)
+
4
f
(
x
n
−
1
)
+
f
(
x
n
)
]
{\displaystyle ={\frac {h}{6}}{\Big [}f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2}){\Big ]}+{\frac {h}{6}}{\Big [}f(x_{2})+4f(x_{3})+f(x_{4}){\Big ]}+\cdots +{\frac {h}{6}}{\Big [}f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\Big ]}}
=
b
−
a
3
n
[
f
(
x
0
)
+
4
∑
k
=
1
,
3
,
5
…
n
−
1
f
(
x
k
)
+
2
∑
J
=
2
,
4
,
6
…
n
−
2
f
(
x
J
)
+
f
(
x
n
)
]
{\displaystyle ={\frac {b-a}{3n}}\left[f(x_{0})+4\sum _{k=1,3,5\ldots }^{n-1}f(x_{k})+2\sum _{J=2,4,6\ldots }^{n-2}f(x_{J})+f(x_{n})\right]}
E
k
=
−
h
5
90
f
(
4
)
(
c
)
x
k
≤
c
≤
x
k
+
2
{\displaystyle E_{k}=-{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(c)\quad x_{k}\leq c\leq x_{k+2}}
האינדקס (4) מציין נגזרת.
E
k
=
−
h
5
90
f
(
4
)
(
c
)
(
b
−
a
)
5
a
≤
c
≤
b
{\displaystyle E_{k}=-{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(c)(b-a)^{5}\quad a\leq c\leq b}
שיטות נוספות עריכה ביצוע קירוב לפונקציה ע"י פולינום מדרגה שלישית ומעלה.
עבור פולינום מדרגה שלישית:
I
=
x
3
−
x
0
8
[
f
(
x
0
)
+
3
f
(
x
1
)
+
3
f
(
x
2
)
+
f
(
x
3
)
]
{\displaystyle I={\frac {x_{3}-x_{0}}{8}}{\Big [}f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+f(x_{3}){\Big ]}}
4 נקודות במרווחים שווים.
אינטגרלים מרובים עריכה אינטגרלים כפולים (לא יעיל לאינטגרלים מסדר גבוה יותר).
כעת נדרוש
n
2
{\displaystyle n^{2}}
I
=
∫
y
0
y
1
∫
x
0
x
1
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle I=\int \limits _{y_{0}}^{y_{1}}\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}f(x,y)dxdy}
מספר הנקודות עולה בחזקת סדר האינטגרל: אינטגרל ב-10 ממדים ידרוש
n
1
0
{\displaystyle n^{1}0}
10
1
0
{\displaystyle 10^{1}0}
לא יעיל . שיטת האינטגרציה בסימולציה עריכה נגדיר:
I
=
∫
x
0
x
1
f
(
x
)
d
x
=
∫
x
0
x
1
f
(
x
)
g
(
x
)
⋅
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle I=\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)dx=\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {f(x)}{g(x)}}\cdot g(x)dx}
נבחר:
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
אפשרות ל-
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
- התפלגות אחידה
- התפלגות משתנים אקראיים.
יצירת מספרים אקראיים מתוך
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
g
(
x
)
,
f
(
x
)
{\displaystyle g(x),f(x)}
חישוב האינטגרל באמצעות:
I
=
∫
x
0
x
1
f
(
x
)
g
(
x
)
⋅
g
(
x
)
d
x
=
E
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
{\displaystyle I=\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {f(x)}{g(x)}}\cdot g(x)dx=E\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]}
I
=
1
R
∑
k
=
1
R
f
(
x
k
)
g
(
x
k
)
{\displaystyle I={\frac {1}{R}}\sum _{k=1}^{R}{\frac {f(x_{k})}{g(x_{k})}}}
הסבר: אנו מחשבים ערכים אקראיים ב-
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx={\frac {h}{2}}\sum _{k=0}^{n}{\big [}f(x_{k})+f(x_{k+1}){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f2c18ef8629474e603c5947b860f9f4003df9e1)
![{\displaystyle ={\frac {h}{2}}{\Big [}f(x_{0})+f(x_{1})+f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{2})+f(x_{3})+\cdots {\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aafe4da6c0348b4810a7f1a05ee730b7060fe6d)
![{\displaystyle ={\frac {h}{2}}\left[f(x_{0})+f(x_{n})+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_{k})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d5586e65cd7ca22054ab0a6dcc30b2b05f7f68)
![{\displaystyle \int \limits _{x_{k}}^{x_{k+2}}=\left[{\color {Blue}{\frac {(x-x_{k+1})(x-x_{k+2})}{(x_{k}-x_{k+1})(x_{k}-x_{k+2})}}\cdot f(x_{k})}+{\color {Red}{\frac {(x-x_{k})(x-x_{k+2})}{(x_{k+1}-x_{k})(x_{k+1}-x_{k+2})}}\cdot f(x_{k+1})}+{\color {OliveGreen}{\frac {(x-x_{k})(x-x_{k+1})}{(x_{k+2}-x_{k})(x_{k+2}-x_{k+1})}}\cdot f(x_{k+2})}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24813e512af214efe905dbec516606f6dafa2ce)
![{\displaystyle ={\frac {h}{6}}{\Big [}f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2}){\Big ]}+{\frac {h}{6}}{\Big [}f(x_{2})+4f(x_{3})+f(x_{4}){\Big ]}+\cdots +{\frac {h}{6}}{\Big [}f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33613f31029e3da30a7847a09bc0e9ed52efefa2)
![{\displaystyle ={\frac {b-a}{3n}}\left[f(x_{0})+4\sum _{k=1,3,5\ldots }^{n-1}f(x_{k})+2\sum _{J=2,4,6\ldots }^{n-2}f(x_{J})+f(x_{n})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e3396b98666e31174a126e27b31c988a3e4f68)
![{\displaystyle I={\frac {x_{3}-x_{0}}{8}}{\Big [}f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+f(x_{3}){\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1803a873098f42e7feedc4e8625e0a1f6ebceebd)
![{\displaystyle I=\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {f(x)}{g(x)}}\cdot g(x)dx=E\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c89b92f80fb50a00342e26e876201c94b551495)
