מבוא לשיטות נומריות/גזירה נומרית

הקדמה:

- אפשרי רק עבור נקודה נתונה, מוצאים ערך הנגזרת של הפונקציה בנקודה הנתונה.

מתי:

- כאשר הנגזרת מסובכת.

- כאשר מקבלים ערכים בדידים ולא פונקציה מפורשת (כמו בניסויים, לדוגמא).

- כאשר רוצים (בהמשך) לפתור מד"ר באופן נומרי.

שיטות:

א) שיטות הפרשים סופיים:

1) הפרשים קדמיים.

2) הפרשים אחוריים.

3) הפרשים מרכזיים.

4) אקסטרפולציית ריצ'רדסון.

ב) נושאים נוספים:

1) קירוב לנגזרת שניה.

2) נגזרות מסדר גבוה.

3) נגזרות לנתונים במרווחים לא שווים.

א) הפרשים סופיים

מבצעים קירוב טיילור מדרגה ראשונה

(צעד קדמי) $\ f(x+h)=f(x)+hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(c_{1})\quad x<c_{1}<x+h$

(צעד אחורי) $\ f(x-h)=f(x)-hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(c_{2})\quad x-h<c_{2}<x$

1) הפרשים קדמיים: בשיטה זו נבודד את $\ f'(x)$ מתוך ביטוי לצעד קדמי:

 $\ f'(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {h}{2}}f''(c_{1})$

2) הפרשים אחוריים: בשיטה זו נבודד את $\ f'(x)$ מתוך ביטוי לצעד אחורי:

 $\ f'(x)={\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}+{\frac {h}{2}}f''(c_{2})$

• $\ O(h)=\pm {\frac {h}{2}}f''(c_{2})$ שגיאת קיטוע.

ניתן לראות שבשתי שיטות אילו שגיאת הקיטוע גדלה ככל ש- h גדל.

3) הפרשים מרכזיים: בשיטה זו נבצע קירוב טיילור מדרגה שניה בצעד קדמי ובצעד אחורי, נשווה בינהם ונבודד את $\ f''(x)$.

• קירוב טיילור מדרגה שניה:

צעד קדמי: $\ (I)f(x+h)=f(x)+hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(x)+O(h^{3})$

צעד אחורי: $\ (II)f(x-h)=f(x)-hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(x)+O(h^{3})$

כאשר $\ O(h^{3})$ היא השגיאה.

• נחסיר $\ (I)-(II)$:

$\ f(x+h)-f(x-h)=2hf'(x)+O(h^{3})$

• נחלץ את $\ f'(x)$:

קירוב מרכזי: $\ f'(x)={\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}+O(h^{2})$

$\ O(h^{3})=\left|{\frac {h^{3}}{6}}f'''\right|$

• ניתן לראות ויזואלית שהנגזרת המרכזית הכי קרובה לנגזרת האמיתית, ולכן מהווה שיטה 3 קירוב טוב יותר.

• לשיפור השיטה והקטנת שגיאת הקיטוע יש להקטין את גודל הצעד h. צעד קטן מדי גם יתן שגיאה גדולה בשל שגיאות עיגול במחשב.

4) אקסטרפולציית ריצ'רדסון

• משווים בין 2 קירובים של טורי טיילור: אחד עם גודל צעד $\ h_{1}$, ואחד עם גודל צעד $\ h_{2}<h_{1}$, בהנחה ש- $\ h_{2}\cong h_{1}$.

מתקבל: $\ f'(x)={\frac {4}{3}}f'_{h/2}(x)-{\frac {1}{3}}f'_{h}(x)$

$\ f'_{h/2}$ - גודל נגזרת מרכזית בנקודה x עם צעד h/2.

$\ f'_{h}$ - נגזרת מרכזית בנקודה x עם צעד h.

• יתרון השיטה: מאפשרת שיפור הדיוק ללא הקטנת גודל הצעד. באופן זה בוחרים h כלשהו ומציבים:

$\ \left\{{\begin{matrix}f'_{h}(x)={\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}\\f'_{h/2}(x)={\frac {f(x+{\frac {h}{2}})-f(x-{\frac {h}{2}})}{2{\frac {h}{2}}}}\end{matrix}}\right.$ $\ f'(x)={\frac {4}{3}}f'_{h/2}(x)-{\frac {1}{3}}f'_{h}(x)\Leftarrow$

ב) נושאים נוספים:

1) קירוב לנגזרת שניה:

• נפתח טור טיילור מסדר שלישי:

צעד קדמי: $\ (I)f(x+h)=f(x)+hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {h^{3}}{3!}}f'''(x)+O(h^{4})$

צעד אחורי: $\ (I)f(x-h)=f(x)-hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(x)-{\frac {h^{3}}{3!}}f'''(x)+O(h^{4})$

נגזרת מסדר שני: $\ (I)+(II)\quad \Rightarrow \quad {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}+O(h^{2})=f''(x)$

2) נגזרות מסדר גבוה

• בשיטה זו נגזור קירובים של נגזרות מסדר נמוך יותר.

$\ f'''(x)={\frac {2}{2x}}f''(x)$

$\ ={\frac {2}{2x}}\left[{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}\right]$

ביטוי מקורב לנגזרת מסדר III: $\ f'''(x)={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+2f(x-h)-f(x-2h)}{2h^{3}}}$

3) נגזרות לנתונים במרווחים לא שווים:

• שימוש: כאשר נתונות תוצאות ניסוי או תצפיות ולא פונקציה מפורשת.

• בשלב ראשון מתאימים עקום לתוצאות ע"י אינטרפולציה ומחשבים את נגזרות העקום המקורב, בשיטת ההפרשים הסופיים.