מבוא לשיטות נומריות/התכנסות, קריטריון התכנסות וקצב התכנסות

התכנסות

- תכונה של פתרון שמבוצע ע"י איטרציות.

- סדרת הפתרונות $\ \{X^{(n)}\}$ תתכנס ל-X אם לכל $\ \delta >0$ קיים מספר m גדול מספיק שמקיים: $\ \quad \forall \quad n>m,|X^{(n)}-X|<\delta \quad$

- קרטיריון התכנסות של אלגוריתם דרוש מכיוון:

1) שיש שגיאות נומריות הפתרון האמיתי לא ידוע.

2) קריטריון ההתכנסות מתייחס לקרבה בין פתרונות של איטרציות עוקבות.

קריטריון ההתכנסות - האם הגענו להתכנסות או לא

אפשרויות:

• ערך הפתרון:

$\ |X^{(n)}-X^{(n-1)}|<\delta _{1}$ - ההפרש בין שתי איטרציות עוקבות קטן מ- $\ \delta _{1}$

• ערך הפונקציה:

$\ |f(X^{(n)})-f(X^{(n-1)})|<\delta _{2}$

• קריטריון יחסי:

$\ {\frac {|X^{(n)}-X^{(n-1)}|}{{\frac {1}{2}}|X^{(n)}+X^{(n+1)}|}}<\delta _{3}$

• ברירת המחדל - מספר מקסימלי של איטרציות.

קצב ההתכנסות:

$\ lim_{n\to \infty }{\frac {|\epsilon ^{(n+1)}|}{|\epsilon ^{(n)}|^{R}}}=k\quad ,\quad |\epsilon ^{(n)}=X^{(n)}-X,$

$\ R,k=const$

תהיה ההתכנסות כאשר:

$\ \epsilon ^{(n)}$ - השגיאה של איטרציה n.

$\ R\geq 1,K<1$

• R = 1 : תהיה התכנסות לינארית.

• R = 2 : תהיה התכנסות ריבועית.