מבוא לשיטות נומריות/פתרון מערכת משוואות לינאריות

הקדמה: עד כה פתרנו ע"י שיטת החילוץ של גאוס. כעת נפתח שיטות לפתרון המשתמשות באיטרציות.

שיטות הפתרון:

  1. שיטת גאוס–זיידל
  2. שיטת יעקבי
  3. שיטת SOR – Succesive Over Relaxation

בשיטות איטרטיביות:

  • דורש פתרון התחלתי
  • נשפר פתרון זה בכל איטרציה באמצעות שימוש בפתרון הקודם.

מערכת המשוואות תירשם כך:

הפתרון ההתחלתי:

  • האינדקס העליון מציין את מספר האיטרציה.

כעת נבצע איטרציות למציאת שהוא פתרון קרוב ומדויק יותר מאשר .

1) שיטת גאוס–זיידל

נשתמש בפתרון העדכני ביותר בחישובים מאוחרים באיטרציה:

  • האינדקס המסומן באדום מציין את ההבדל משיטת יעקבי.

לדוגמא:

2) שיטת יעקבי (Jacobi)

עדכון הפתרון יבוצע ע"י האיטרציה הכללית:

לדוגמא:

  • תנאי התכנסות לשיטה (שליטה אלכסונית):
מדובר בתנאי מספיק אך לא הכרחי – השיטה עלולה להתכנס גם אם לא יתקיים, אך אם הוא מתקיים – השיטה בטוח תתכנס.

הסבר:

נוודא שכל אברי האלכסון גדולים, כל אחד, מסכום שאר האברים בשורה:

שורה ראשונה: מתקיים

שורה שניה: לא מתקיים


שיטת יעקבי מתכנסת לאט יותר משיטת גאוס–זיידל מכיוון שבגאוס–זיידל כבר משתמשים בפתרון המעודכן בעת ביצוע האיטרציות.

  • התכנסות השיטה:

השגיאה באיטרציה  :

3) שיטת SOR – Successive Overrelaxation

האיטרציה הכללית בשיטת גאוס–זיידל:

נוציא מהביטוי המסומן באדום את האיבר הראשון ונקבל:

הנוסחה הכללית לאיטרציה בשיטה זו:

  • הוא פרמטר לגודל הצעד בין האיטרציות. עבור גאוס–זיידל.
  • השיטה תקרא underrelaxation והיא מתכנסת לעתים גם כאשר גאוס–זיידל לא מתכנסת (הצעדים בשיטה זו הם קטנים יותר).
  • השיטה תקרא overrelaxation והיא עשויה להאיץ התכנסות בהם גאוס–זיידל מתכנסת, במידה והמטריצה נשלטת אלכסונית.
  • או שיטת SOR לא תתכנס.