|
==אי שיויונות עם ערך מוחלט==
'''אי שיויונות עם ערך מוחלט''' הוא תרגיל בו יש [[אי שיווין]] (> או <) ו[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/ערך מוחלט|ערך מוחלט]]
*[[/אי שיויונות עם ערך מוחלט אחד/]]
*[[/אי שוויונות עם שני ערכים מוחלטים או יותר/]]
לפני שנתחיל נראה את הגדרת הערך המוחלט:
<center>
<math>\ |x|=\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{if }x \ge 0 \\ -x, & \mbox{if }x<0 \end{matrix}\right. </math>
<br>
</center>
משמעות ההגדרה, היא כי הערך המוחלט של כל מספר הוא בעצם מרחקו מהאפס על גבי ציר המספרים. כלומר, מרחקו של <math>-6</math> מ-0 זהה למרחקו של <math>6</math> מהאפס, כלומר הערך המוחלט שלהם שווה. בכלליות ניתן לומר כי
<center>
<math>\ |x|=|-x|</math><BR>
</center>
חשוב לשים לב כי מההגדרה נובע כי ערכו המוחלט של '''כל מספר''' הוא אי שלילי. כלומר, <center>
<math>\ |x| \ge 0</math><BR><BR>
</center>
ניתן לראות זאת גם מציור הפונקציה:
<center>
[[תמונה:Absolute value.svg]]
</center>
===אי שוויונות עם ערך מוחלט אחד===
ככלל, קיימים שני אי-שוויונות בסיסיים אותם יש לדעת ולהבין, ואת היתר ניתן (בדרך כלל) לפתור באמצעותם:
<BR><BR>
===מקרה א'- <math>\ |x| < a</math>===
<BR>
אם <math>\ a</math> הינו מספר שלילי, אזי אין פתרון לאי-שוויון זה. זאת משום שאגף שמאל תמיד חיובי או אפס (ערך מוחלט), לעומת אגף ימין שהוא מספר שלילי ולכן, אין פתרון לאי-שוויון זה.<BR><BR>
אם <math>\ a</math> מספר חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא <math>\ -a < x < a</math>. נדגים זאת ע"פ דוגמה מספרית:
<center>
<BR>
<math>\ |x|<5</math>.<br><BR>
</center>
אם נצייר את הגרף לשני האגפים על אותה מערכת צירים, נוכל בנקל לראות מתי אי-השוויון מתקיים (זאת מכיוון שקל לצייר את שני הגרפים באופן סכמטי וכל שאנו מחפשים הוא החלק בגרף של אגף שמאל שנמצא "מתחת" לגרף של אגף ימין):
<center>
<BR><BR>
[[תמונה:Inequality5.PNG|500px]]<BR>
</center>
מהגרף ניתן לראות כי הערכים בהם הערך המוחלט של <math>\;x</math> (כלומר <math>\;|x|</math>) קטן מ-<math>\;5</math> נמצאים בין <math>\;(-5)</math> ל-<math>\;(+5)</math>. כלומר ה'''תשובה''' היא:<BR>
<math>\ -5 < x < 5</math><BR><BR>
====דוגמה====
מצא לאילו ערכי <math>\;x</math> אי השוויון הבא מתקיים:
<center>
<math>\ |2x-3|<4</math>.<BR><BR>
</center>
נפתור לפי השיטה שהצגנו:<BR><BR>
<center>
<math>\ -4<2x-3<4</math><Br><BR>
<math>\ -4<2x-3\ </math> וגם <math>\ 2x-3<4 </math><Br><BR>
<math>\ -1<2x </math> וגם <math>\;2x<7</math><Br><BR>
<math>\ x>-0.5\ </math> וגם <math>\ x<3.5</math><Br><BR>
<math>\ -0.5<x<3.5</math><Br><BR>
</center>
וזהו הפתרון.
===מקרה ב'- <math>\ |x|>a</math>===
אם <math>\ a</math> מספר שלילי, אז אי-השוויון מתקיים עבור '''כל <math>x</math>'''. זאת משום שאגף שמאל תמיד אי-שלילי (ערך מוחלט), והאגף הימיני שלילי. כידוע, מספר חיובי '''תמיד''' גדול ממספר שלילי.<BR><BR>
אם <math>\ a</math> מספר חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא <math>\ x>a\ </math> '''או''' <math>\ x<-a</math>. נדגים בעזרת אותה הדוגמה המספרית בה השתמשנו קודם:
<center><BR>
<math>\ |x|>5</math>.<br><BR>
</center>
נצייר את הגרף לשני האגפים בנפרד על אותה מערכת צירים, ונראה מתי אי-השוויון מתקיים. במקרה זה אנו מעוניינים לבדוק באיזה תחום הגרף של <math>\;|x|</math> נמצא מעל אגף ימין:<BR><BR>
<center>
[[תמונה:Inequality6.PNG|500px]]<BR>
</center>
מהגרף ניתן לראות כי הערכים בהם הערך המוחלט (מודגשים בקו שחור עבה בגרף) של <math>\;x</math> גדול מ-<math>\;5</math> נמצאים אחרי <math>\;5</math>, או לפני <math>\;(-5)</math>. כלומר התשובה היא:<BR>
<center>
<math>\ x>5\ </math> או <math>\ x<-5</math><BR><BR>
</center>
דוגמה לפתרון תרגיל:<BR>
מצא לאילו ערכים של <math>\;x</math> אי השוויון הבא מתקיים:
<center>
<math>\ |4x-2|>12</math>.<BR><BR>
</center>
נפתור לפי השיטה שהצגנו:
<center>
<BR><BR>
<math>\ 4x-2>12\ </math> או <math>\ 4x-2<-12</math><Br><BR>
<math>\ 4x>14\ </math> או <math>\ 4x<-10 </math><Br><BR>
<math>\ x>3.5\ </math> או <math>\ x<-2.5</math><Br><BR>
</center>
וזהו הפתרון.
===אי שוויונות עם שני ערכים מוחלטים או יותר===
כאשר מופיעים שני ערכים מוחלטים (או יותר) באי-שוויון, הטכניקה לפתרון נעשית מסובכת מעט יותר. נדגים שיטה לפתרון: <BR><BR>
#מוצאים את כל הערכים המאפסים את הערכים המוחלטים המופיעים באי-שוויון, ומסדרים אותם מהקטן לגדול.
#מחלקים את ציר המספרים כולו לתחומים, לפי הערכים שקיבלנו בסעיף הקודם.
#עבור כל תחום רושמים איך ייראה אי-השוויון, '''תוך השמטת סימני הערך המוחלט'''.
#עבור כל תחום, חותכים את התוצאה שהתקבלה עם התחום שהוצב (כלומר שימוש בקשר וגם הגורם ל[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קבוצות ותחומים/איחוד וחיתוך|חיתוך]] קבוצות).
#בודקים באופן כללי עבור כל אחד מערכי הגבול (הערכים שהתקבלו בסעיף הראשון) אם הוא מקיים את האי שוויון.
#עבור כל התחומים, מאחדים את התשובות (קשר או) ומוסיפים (אם צריך) את ערכי הגבול וזו התשובה הסופית.
<BR><BR>
בשלב זה נראה שדוגמא תתרום להבנת התהליך. נדגים את שלבי הפתרון על אי-השוויון:
<center>
<math>\ |x-3|+|x+1|>6</math><br>
</center>
#הערכים המאפסים את הערכים המוחלטים (לפי הסדר) הם: <math>\ -1, 3</math>.
#התחומים המתקבלים הם:
#*<math>\ x<-1</math>.
#*<math>\ -1<x<3</math>.
#*<math>\ x>3</math>.
#נבנה כאן טבלה, שכותרות העמודות בה יהיו התחומים שקיבלנו בסעיף הקודם, ומתחת יהיה פתרון אי-השיויון לפי השלבים:<BR><BR>
<table border="1" cellspacing="3" cellpadding="4">
<tr>
<td><b><center>התחום </center></b></td>
<td><b><center><math>\ x<-1</math></center></b></td>
<td><b><center><math>\ -1<x<3</math></center></b></td>
<td><b><center><math>\ x>3</math></center></b></td>
</tr>
<tr>
<td><b><center>הסבר</center></b></td>
<td>כאשר ערכו של איקס יהיה קטן מ-(1-) הביטויים שבשני הערכים המוחלטים יהיו שליליים, ולכן מה שהערך המוחלט יעשה לביטוי הוא פשוט להפוך את סימנו. לכן, כדי להשמיט את הערך המוחלט, מה
שנעשה הוא במקום סימני הערך המוחלט לשים את הביטוי בסוגריים, '''ולפניו מינוס'''.</td>
<td>כאשר ערכו של איקס גדול מ-(1-) אבל קטן מ-3 אזי הביטוי בערך המוחלט השמאלי יהא שלילי, ולכן נוריד את סימני הערך המוחלט ונוסיף מינוס לפני (כמובן שנוסיף סוגריים). באותו התחום, ערכו של
הביטוי עם הערך המוחלט הימני יהא חיובי, ולכן נוכל פשוט להשמיט את הערך המוחלט.</td>
<td>כאשר ערכו של איקס גדול מ-3 אזי שני הביטויים בערכים המוחלטים יהיו חיוביים ממילא, ולכן ניתן פשוט להשמיט את סימני הערך המוחלט.</td>
</tr>
<tr>
<td><B><center>פתרון התחומים</center></b></td>
<td align="center"><math>\ - (x-3)-(x+1)>6</math><BR><BR>
<math>\ -x+3-x-1>6</math><BR><BR>
<math>\ -2x+2>6</math><BR><BR>
<math>\ -2x>4</math><BR><BR>
<math>\ x<-2</math>
</td>
<td align="center"><math>\ - (x-3)+(x+1)>6</math><BR><BR>
<math>\ -x+3+x+1>6</math><BR><BR>
<math>\ 4>6</math><BR><BR>
אין פתרון<BR><BR>
</td>
<td align="center"><math>\ (x-3)+(x+1)>6</math><BR><BR>
<math>\ x-3+x+1>6</math><BR><BR>
<math>\ 2x-2>6</math><BR><BR>
<math>\ 2x>8</math><BR><BR>
<math>\ x>4</math><BR><BR>
</td>
</tr>
<Tr>
<td><b><center>חיתוך של התחום עם התוצאה</center></b></td>
<td><center><math>\ x<-2</math></center></td>
<td><center>אין פתרון</center></td>
<td><center><math>\ x>4</math></center></td>
</tr>
<tr>
<td><center><b>ערכי גבול<b></center></td>
<td colspan="3">
{|border="0" cellpadding="6" width="100%"
|-
|align="center" width="50%"| <math>x=-1\ </math><BR><math>\Downarrow</math><BR><math>\ |-4|+|0|>6</math><BR><BR><math>\ 4+0>6</math><BR><BR><math>\ 4>6</math>
|align="center" width="50%"| <math> \ x=3</math><BR><math>\Downarrow</math><BR><math>\ |0|+|4|>6</math><BR><BR><math>\ 4>6</math>
|}<br>
<center>'''אף אחד מערכי הגבול אינו מקיים את האי-שוויון, ולכן אינו מהווה פתרון.'''</center>
</td>
</tr>
<tr>
<td><center><B>התשובה הסופית</b></center></td>
<td align="center" colspan="3"><math>\ x<-2</math> או <math>\;x>4</math></td>
</tr>
</table>
<BR><BR>
{{תוכן|
| הפרק הקודם=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות עם שורשים|אי שיויונות עם שורשים]]
| 