ויקיספר

אלגברה לינארית/דרגה של מטריצה: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
==מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס==
תהי <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> אז ניתן להגדיר את המושגים הבאים:{{ש}}
'''<u>מרחב השורות של A</u>''' זהו המרחב הנפרש ע"י שורות המטריצה. כלומר, אם <math>R_1(A),R_2(A),...,R_m(A)</math> שורות המטריצה A אז מרחב השורות הוא <math>R(A)=\operatorname{span}\left \{ R_1,R_2,...,R_m \right \}</math>. מתוך תכונת כפל מטריצות והעובדה ש- span זה בעצם כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים, אפשר לתאר את המרחב גם בצורה הבאה: <math>\left \{vA | v \in \mathbb{F}^{1\times m} \right \}</math> או <math>\left \{ A^tv | v \in \mathbb{F}^m \right \}</math>
 
'''<u>מרחב העמודות של A</u>''' זהו המרחב הנפרש ע"י עמודות המטריצה. כלומר, אם <math>C_1(A),C_2(A),...,C_n(A)</math> שורות המטריצה A אז מרחב השורות הוא <math>C(A)=\operatorname{span}\left \{ C_1,C_2,...,C_n \right \}</math>. מתוך תכונת כפל מטריצות והעובדה ש- span זה בעצם כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים, אפשר לתאר את המרחב גם בצורה הבאה: <math>\left \{ Av | v \in \mathbb{F}^n \right \}</math>. נראה כי מימד מרחב העמודות הוא תמיד מספר המשתנים התלויים במערכת <math>Ax=0</math>.
 
'''<u>מרחב האפס</u>''' הוא מרחב כל הוקטורים שמאפסים את A. כלומר, <math>N(A)=\left \{v \in \mathbb{F}^n | Av=0 \right \}</math>. נראה כי מימד מרחב השורות הוא תמיד מספר המשתנים החופשיים במערכת <math>Ax=0</math>.
 
כידוע, תמיד מספר המשתנים התלויים + מספר המשתנים החופשיים = מספר העמודות ולכן מתקבל:{{ש}}
<math>\operatorname{dim} C(A) + \operatorname{dim} N(A)= n</math>{{ש}}
'''משפט:''' <math>\operatorname{dim} C(A)=\operatorname{dim} R(A)</math>{{ש}}
 
==דרגה==
דרגה של מטריצה היא מספר השורות שאינן 0 בצורה המדורגת קנונית שלה. נסמן <math>r(A)</math> או <math>\operatorname{rank}(A)</math>. נראה כי: <math>r(A)=\dim R(A)</math> כיווןכיון שפעולת שורה לא משנה את מרחב השורות. לכן, <math>r(A)=\dim R(A)= \dim C(A) = n-\dim N(A)</math>▼
 
מתקיים: <math>r(AB) \leqle \operatorname{min} \left\{ r(A),r(B) \right\}</math>▼
▲דרגה של מטריצה היא מספר השורות שאינן 0 בצורה המדורגת קנונית שלה. נסמן <math>r(A)</math> או <math>rank(A)</math>. נראה כי: <math>r(A)=dim R(A)</math> כיוון שפעולת שורה לא משנה את מרחב השורות. לכן, <math>r(A)=dim R(A)= dim C(A) = n-dim N(A)</math>
 
▲מתקיים: <math>r(AB) \leq \operatorname{min} \left\{ r(A),r(B) \right\}</math>
 
תהי A מטריצה ריבועית אז התנאים הבאים שקולים:{{ש}}
שורה 20:
* A הפיכה
* לכל <math>b\in\mathbb{F}^n</math>, למערכת <math>Ax=b</math> קיים פתרון והוא יחיד
* <math>N(A)=\left\{0\right\}</math>
* <math>C(A)=\mathbb{F}^n</math>
 
 
 
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/אלגברה_לינארית/דרגה_של_מטריצה"