חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

ונאמר "הגבול של <math>f(x)</math> , כאשר <math>x</math> שואף ל- <math>a</math> , שווה ל- <math>L</math>"

אם אנחנו יכולים להביא את <math>f(x)</math> קרובה ל- <math>L</math> ככל שנרצה אם ניקח <math>x</math> קרוב מספיק ל- <math>a</math> (בכל צד של <math>a</math>) אבל לא שווה ל- <math>a</math> .

מה זאת אומרת "להביא את <math>f(x)</math> קרובה ל- <math>L</math> ככל שנרצה" או "<math>x</math> קרוב מספיק ל- <math>a</math>" ? מונחים כמו "קרוב מספיק" הם מעורפלים ולא מוגדרים היטב מתמטית. עם זאת, ההגדרה הלא -מדויקת היא אינטואיטיבית ומה שנעשה כעת הוא לפרמל את האינטואיציה. ניתן הגדרה פורמלית ומדויקת למושג הגבול.

תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר <math>a</math> , מלבד אולי ב- <math>a</math> עצמו. נאמר כי הגבול של <math>f(x)</math> כאשר <math>x</math> שואף ל- <math>a</math> הוא <math>L</math> , ונכתוב <math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math>

אם לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta</math> , אז מתקיים <math>\Big|f(x) - L\Big| < \varepsilon</math> .

כאשר אמרנו "להביא את <math>f(x)</math> קרובה ל- <math>L</math> ככל שנרצה", למה הכוונה ב"ככל שנרצה"? אנחנו יכולים להביא את <math>f(x)</math> למרחק 0.1 מ-<math>L</math> , מרחק 0.00001 ולמעשה, מרחק קטן ככל שנרצה. את המרחק הזה מסמל בהגדרה הנ"ל אפסילון <math>\varepsilon</math> , אות יוונית המשמשת לרוב לציון ערכים קטנים מאוד, למרות שאין זה מן הנמנע כי אפסילון יהיה מספר גדול מאוד. <math>\Big|f(x) - L\Big|</math> הוא המרחק של <math>f(x)</math> מ- <math>L</math> ואנו אומרים שהגבול קיים אם אנחנו יכולים לעשות את המרחק הזה קטן ככל שנרצה (קטן מכל אפסילון שהוא). אם נפתח את הערך המוחלט ונעביר את <math>L</math> הצידה, נקבל:{{ש}}

<math>L - \varepsilon < f(x) < L + \varepsilon</math>

כלומר, הערכים אשר <math>f(x)</math> מקבלת נמצאים בין <math>L - \varepsilon</math> לבין <math>L + \varepsilon </math>, וזהו הדבר שבדיוק חיפשנו - <math>f(x)</math> קרובה ל- <math>L</math> עד כדי המרחק <math>\varepsilon</math> .{{ש}}

מתי מתרחשת קרבה זו, ע"פ ההגדרה? כאשר <math>0 < |x - a| < \delta</math> ולאחר פתיחת הערך המוחלט והעברת <math>a</math> הצידה

<math>a - \delta < x < a + \delta</math>

כלומר עבור ערכי <math>x</math> שהם קרובים ל- <math>a</math> מאוד, למעשה קרובים עד כדי המרחק הקטן <math>\delta</math> .

מנייןמנין מגיעמגיעים המספרים <math>\varepsilon</math> ו- <math>\delta</math> ואיך בוחרים אותואותם? האם כל מספר יתאים להם?{{ש}}

למי שעדיין אינו בקיא בהוכחות מתמטיות מדוייקותמדויקות, יתכן שהשימוש בשני מספרים כללים נראה מפחיד בתחילה. נחזור כעת למשפט השני מתוך ההגדרה: "...לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math>..."{{ש}}

המספר <math>\varepsilon</math> אינו נבחר על ידינו, אם כן. <math>\varepsilon</math> אשר מייצג את המרחק של <math>f(x)</math> מהערך <math>L</math> יכול להיות כל מספר. כאשר נוכיח את קיומו של גבול כלשהו נצטרך למצוא עבור מספר <math>\varepsilon</math> כללי, מספר אחר <math>\delta</math> , מתאים לו (כפי שכתוב בהגדרה) אשר מקיים את שאר תנאי המשפט. <math>\delta</math> אם כן, הוא מספר אשר '''כן''' נבחר על ידנו, אבל לא כל <math>\delta</math> יתאים, ונצטרך לבחור אותו בחכמה, ועל כך בדוגמא.

'''דוגמא:''' נביט בפונקציה <math>f(x) = \frac{x}{x}</math> ונתעניין בגבול <math>\lim_{x \to a}f(x)</math> .{{ש}}

ראשית, מהם הערכים שהפונקציה מקבלת? לכל <math>x \ne 0</math> נקבל כי <math>f(x) = \frac{x}{x} = 1</math>. ניתן להיות תחת הרושם '''השגוי''' כי למעשה <math>f(x) = 1</math> לכל <math>x</math> , אבל שימו לב מה קורה עבור <math>x = 0</math>: <math>f(0) = \frac {0}{0}frac00</math> , וכפי שלמדנו בביה"ס היסודי, '''אין לחלק ב- <math>0</math> לעולם'''. לכן ב- <math>0</math> הפונקציה אינה מוגדרת. עם זאת, אנו "מרגישים" שכאשר נתקרב ל- <math>0</math> "מאוד" עדיין נשמר הכלל <math>f(x) = 1</math> ולכן "מתבקש" כי <math>\lim_{x \to 0}f(x) = 1</math> . כעת נוכיח זאת בצורה מדויקת, בעזרת ההגדרה המדוייקתהמדויקת שלמדנו.{{ש}}

יהי <math>\varepsilon_0 > 0</math> כלשהו. למה הכוונה במשפט זה? נזכר כי עלינו להוכיח משהו (במקרה זה קיום <math>\delta > 0</math> מתאים) עבור כל <math>\varepsilon</math> הגדול מאפס. יש כמובן אינסוף ערכי <math>\varepsilon</math> שעבורם עלינו למצוא. אנו בוחרים איפוא <math>\varepsilon_0 > 0</math> שרירותי, ומוצאים עבורו <math>\delta_0</math> מתאים. אם עבור <math>\varepsilon_0</math> שרירותי שנבחר נמצא המבוקש - הרי שניתן להגיד שלכל <math>\varepsilon > 0</math> ניתן למצוא את המבוקש וסיימנו את ההוכחה.{{ש}}

ובכן, נבחר עבור ה- <math>\varepsilon_0</math> שלנו, <math>\delta = \varepsilon_0</math>. מתעוררות שתי שאלות:

עבור כל <math>x</math> המקיים <math>0 < |x - 0| < \delta = \varepsilon_0</math> בפרט מתקיים <math>0 < |x - 0| = |x|</math> , כלומר ש- <math>x \neqne 0</math> ולכן <math>f(x) = 1</math> כפי שהוסבר קודם, ולכן

<math>\Big|f(x) - 1\Big| = |1 - 1|= 0 < \varepsilon_0</math>

לשאלתנו השנייההשניה - התשובה היא "לא". שימו לב שבהוכחה לא השתמשנו כלל בעובדה ש- <math>|x - 0| < \delta = \varepsilon_0</math> , כלומר לא נזקקנו לגודל מסוייםמסוים של <math>\delta</math> , ולמעשה יכולנו לבחור כל ערך עבורו, בפרט לקבוע ערכים קבועים כמו <math>\delta = 32</math> . זה '''לא''' יהיה המצב תמיד, ולעיתיםולעתים נהיה חייבים לקבוע מגבלות מסויימותמסוימות על ערכי <math>\delta</math> המתאימים. עם זאת, שימו לב שאם <math>\delta = \delta_0</math> מתאים ל- <math>\varepsilon = \varepsilon_0</math> מסוייםמסוים הרי שגם <math>\delta = \frac{\delta_0}{2}</math> יתאים ולכן תמיד הבחירה של <math>\delta</math> אינה יחידה.

{{אתגר|נסו להבין למה אם <math>\delta = \delta_0</math> מתאים ל- <math>\varepsilon = \varepsilon_0</math> אז גם <math>\delta = \frac{\delta_0}{2}</math> מתאים לו.}}

הבה ניזכר בפונקציה
<div align=left>

נניח בשלילה שקיים גבול <math>L</math> לפונקציה עבור <math>x=0</math> , כלומר מתקיים <math>\lim_{x\to 0}h(x)=L</math> . ע"פ ההגדרה: לכל סביבה <math>\varepsilon>0</math> קיים מספר <math>\delta>0</math> כך שאם <math>0 < |x-0| = |x|< \delta</math> , אז מתקיים <math>\bigg|h(x)-L\bigg|<\varepsilon</math>.{{ש}}

נסמן <math>x_1=\frac{\delta_0}{2}</math> וכן <math>x_2 = -\frac{\delta_0}{2}</math>, ומתקיים: <math>|x_1|< \delta_0</math> ולכן <math>\bigg|h(x_1)-L\bigg|=|1-L|<1</math> , כלומר לאחר פתיחת הערך המוחלט והעברת אגף <math>L>0</math> .{{ש}}

אם נעשה את הדבר עם <math>x_2</math> נקבל כי <math>\bigg|h(x_2)-L\bigg|=\bigg|-1-L\bigg|<1</math> כלומר נקבל <math>L<0</math> .{{ש}}

עם זאת, אנו מרגישים כי אם "נתקרב" ל- <math>0</math> רק מכיוון אחד כל פעם, נקבל גבול - אם נתקרב מהכיוון החיובי נקבל גבול <math>L^+ = 1</math> , בעוד שאם נתקרב מהכיוון השלילי נקבל גבול <math>L^-=-1</math> . נגדיר את <math>1</math> אם כן להיות "הגבול של <math>h(x)</math> מימין ב- <math>0</math>" , ואת <math>-1</math> להיות "הגבול של <math>h(x)</math> משמאל ב- <math>0</math>" . ובמדויק:

<math>\lim_{x\to a}f(x)=L \iff \lim_{x\to a^+}f(x)=L \and \lim_{x\to a^-}f(x)=L</math>

נביט בפונקציה <math>h_1(x) = \frac{1}frac1{x^2}</math> . ברור לנו כי בנקודה <math>x=0</math> עצמה הפונקציה אינה מוגדרת. ומה קורה בסביבה קרובה של <math>x</math> ? ככל שאנו מתקרבים לנקודה x=0 הפונקציה מקבלת ערכים הולכים וגדלים. למעשה אין חסם עליון על הערכים שהפונקציה יכולה לקבל, וניתן לקבל ערך גדול כרצוננו לפונקציה. למצב זה נקרא "גבול אינסופי" ונגיד כי "<math>h_1</math> שואפת לאינסוף ב- <math>0</math>" .{{ש}}

בצורה אנלוגית עבור <math>h_2(x) = -\frac{1}frac1{x^2}</math> נגיד כי "<math>h_2</math> שואפת למינוס אינסוף ב- <math>0</math>" .{{ש}}

א. תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר <math>a</math> , מלבד אולי ב- <math>a</math> עצמו. נאמר כי הגבול של <math>f(x)</math> כאשר <math>x</math> שואף ל- <math>a</math> הוא <math>\infty</math>, ונכתוב <math>\lim_{x \to a}f(x) = \infty</math> אם לכל מספר <math>M > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta</math> , אז מתקיים <math>f(x) > M</math> .

ב. תהי <math>g</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר <math>a</math> , מלבד אולי ב- <math>a</math> עצמו. נאמר כי הגבול של <math>g(x)</math> כאשר <math>x</math> שואף ל- <math>a</math> הוא <math>-\infty</math> , ונכתוב <math>\lim_{x \to a}g(x) = -\infty</math> אם לכל מספר <math>M < 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta</math> , אז מתקיים <math>g(x) < M</math> .

ההגדרות אלו מגדירות בצורה מדויקת את מה שנאמר במילים פשוטות. ההגדרות קובעות כי לפונקציה אין חסם עליון בסביבת <math>a</math> , ויתרה מכך, לכל מספר גדול ככל שנרצה <math>M</math> , נוכל למצוא סביבה קטנה מספיק סביב <math>a</math> כך שערכי הפונקציה בסביבה זו גדלם כולם מ-<math>M</math> .{{ש}}

הבא נראה כיצד הגדרות אלו באות לידי ביטוי בדוגמא למעלה, עבור הפונקציה <math>\ h_1</math> :{{ש}}

יהי <math>x</math> כלשהו. נסמן <math>\delta_0 \equiv \frac{1}frac1{\sqrt{M_0}}</math> .{{ש}}

יהי כעת <math>M_0 > 0</math> המקיים <math>|x - 0| < \delta_0</math> . אז <math>h_1(x) = \frac{1}frac1{x^2} > \frac{1}frac1{(\delta_0)^2} \ge M_0</math> . מש"ל.

{{אתגר|הוכח עבור <math>h_2</math> המוגדרת מעלה כי <math>\lim_{x \to 0}h_2(x) = -\infty</math> .}}

נביט בפונקציה <math>h_3(x) = \frac{1}frac1{x}</math> . האם לפונקציה קיים גבול עבור <math>x=0</math> ? כאשר "מתקרבים ל- <math>0</math> מימין" (כלומר עבור ערכים חיוביים), <math>h_3(x)</math> מקבלת ערכים הולכים וגדלים. כך:

לעומת זאת כאשר "מתקרבים ל- <math>0</math> משמאל" (כלומר עבור ערכים שליליים, <math>h_3(x)</math> מקבלת ערכים הולכים וקטנים. כך:

שוב אנו מבינים כי יש הבדל בני שני הצדדים של הנקודה <math>x=0</math> , ו"מרגישים" כי קיימים גבולות שונים בכל צד. ניתן הגדרה מדויקת:

שם=גבול חד -צדדי אינסופי|

תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>(a,b)</math> . נאמר כי הגבול של <math>f(x)</math> כאשר <math>x</math> שואף ל- <math>a</math> מימין הוא <math>\infty</math> , ונכתוב <math>\lim_{x \to a^+}f(x) = \infty</math> אם לכל מספר <math>M > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>0 < x - a < \delta</math> , אז מתקיים <math>f(x) > M</math> .

תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>(b,a)</math> . נאמר כי הגבול של <math>f(x)</math> כאשר <math>x</math> שואף ל- <math>a</math> משמאל הוא <math>\infty</math> , ונכתוב <math>\lim_{x \to a^-} f(x) = \infty</math> אם לכל מספר <math>M > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>\ 0 < a - x < \delta</math> , אז מתקיים <math>f(x) > M</math> .

ועכשיו נוכיח כי <math>\lim_{x \to a^+}h_3(x) = \infty</math> :{{ש}}

יהי <math>M_0 > 0</math> כלשהו. נבחר <math>\delta_0 = \frac{1}frac1{M_0}</math> . יהי <math>x_0</math> כלשהו המקיים <math>0 < x_0-0 < \delta_0</math> ואז קל לראות כי <math>h_3(x_0) = \frac{1}frac1{x_0} > \frac{1}frac1{\delta_0} = M_0</math> . מש"ל.

הגדר את הגבולות החד-צדדיים: <math>\lim_{x \to a^+}f(x) = -\infty</math> ו- <math>\lim_{x \to a^-}f(x) = -\infty</math> , והוכח כי <math>\lim_{x \to a^-} h_3(x) = -\infty</math> .

נביט שוב בפונקציה <math>h_3(x) = \frac{1}frac1{x}</math> . הפעם נביט בערכים הולכים וגדלים של <math>x</math> :

מה קורה לפונקציה? הפונקציה מקבלת ערכים הקרבים ל-<math>0</math> יותר ויותר. נגדיר את הגבול באינסוף כמספר שאליו הפונקציה הייתה "רוצה" להגיע.

'''א.''' תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>(a,\infty)</math> . נאמר כי הגבול של <math>f(x)</math> כאשר <math>x</math> שואף ל- <math>\infty</math> הוא <math>L</math> , ונכתוב <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = L</math> אם לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>N > 0</math> כך שאם <math>N < x</math> , אז מתקיים <math>\Big|f(x) - L\Big| < \varepsilon</math> .{{ש}}

'''ב.''' תהי <math>g</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>(-\infty,a)</math> . נאמר כי הגבול של <math>g(x)</math> כאשר <math>x</math> שואף ל- <math>-\infty</math> הוא <math>L</math> , ונכתוב <math>\lim_{x \to -\infty}g(x) = L</math> אם לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>N < 0</math> כך שאם <math>x < N</math> , אז מתקיים <math>\Big|g(x) - L\Big| < \varepsilon</math> .

בהגדרת הגבול הקודמת, חיפשנו ערכי <math>x</math> בסביבות הולכות וקטנות של <math>a</math> (מוגבלות ע"י <math>\delta</math>-ת) אשר צמצמו את ערכי הפונקציה <math>f(x)</math> (ערכים אלו מוגבלים ע"י <math>\ \varepsilon</math>) .{{ש}}

בהגדרה זאת במקום סביבה ל- <math>a</math> אנחנו מגדילים את ערכי <math>x</math> עוד ועוד (ע"י הגדלת <math>N</math>) , וזה בתורו מצמצם את ערכי הפונקציה <math>f(x)</math> (ושוב ערכים אלו מוגבלים ע"י <math>\varepsilon</math>).

הבא נדגים על <math>\ h_3(x)</math> :{{ש}}

יהי <math>\varepsilon_0 > 0</math> כלשהו. נגדיר עבורו <math>N_0 = \frac{1}frac1{\delta_0}</math> . ויהי <math>x_0</math> כלשהו, המקיים <math>x_0 > N_0</math> . ואז <math>h_3(x_0) = \frac{1}frac1{x_0} = \frac{1}frac1{N_0} < \varepsilon</math>

כשם שהגדרנו גבול אינסופי, שם אמרנו שבסביבה מסוימת אין לפונקציה חסם, נגדיר לפונקציה "גבול אינסופי באינסוף" אם ערכיה הולכים וגדלים ללא הגבלה כאשר <math>x</math> גדל.

תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>(a,\infty)</math> . נאמר כי הגבול של <math>f(x)</math> כאשר <math>x</math> שואף ל- <math>\infty</math> הוא <math>\infty</math> , ונכתוב <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty</math>

אם לכל מספר <math>M > 0</math> קיים מספר <math>N > 0</math> כך שאם <math>N < x</math> , אז מתקיים <math>f(x) > M</math> .

לדוגמא, נביט ב- <math>h_4(x) = x</math>. נוכיח שהיא שואפת לאינסוף באינסוף.{{ש}}

יהי <math>M_0 > 0</math> כלשהו. נגדיר עבורו <math>N_0 = M_0</math>. ויהי כעת <math>x</math> המקיים <math>x > N_0</math> . אז מתקיים: <math>h_4(x) = x > N_0 = M_0</math> . מש"ל.

הגדר את הגבולות: <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty\ ,\ <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = -\infty\ ,\ \lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty</math>

נגיד ש- <math>\lim_{x\to x_0}f(x) = L</math> אם לכל סדרה <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> כך ש- <math>\forall n \in \mathbb{N}: x_n \neqne x_0</math> ו- <math>\lim_{n\to \infty}x_n = x_0</math> מתקיים: <math>\lim_{n \to \infty}f(x_n) = L</math>

כלומר, ע"י בחירת סדרה של נקודות שמתקרבת יותר ויותר ל- <math>x_0</math> , הפונקציה תתקרב יותר ויותר ל- <math>L</math>