חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרציה/אינטגרל מוכלל: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 1:
'''אינטגרל מוכלל''' (או '''אינטגרל לא-אמיתי''') הנו הכללה של האינטגרל המסוים (רימאן) לקטעים לא-חסומים ופונקציות לא-חסומות.
;דוגמא
חשב את האינטגרל <math>\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{x^2}</math>
<font size=5><math>\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{x^2}=\left[-\
;הסבר
מה קרה?! הרי הפונקציה <math>\
טעינו בכמה דברים. הפונקציה לא-רציפה בקטע <math>[-1,1]</math> וגם הגבול <math>\lim_{x\to0}\
==אינטגרלים מוכללים בקטעים לא-חסומים==
תהי <math>f:[a,\infty)\to\R</math> פונקציה המקיימת אינטגרביליות בקטע <math>[a,M]</math> לכל <math>M>a</math> .
נגדיר: <font size=5><math>\int\limits_a^\infty f(x)dx=\lim_{M\to\infty}\int\limits_a^M f(x)dx</math></font size=5> בתנאי שהגבול קיים (וסופי). אם הגבול אינו קיים אזי האינטגרל מתבדר.
באופן דומה נגדיר: <font size=5><math>\int\limits_{-\infty}^a f(x)dx=\lim_{M\to\infty}\int\limits_{-M}^a f(x)dx=\lim_{M\to-\infty}\int\limits_M^a f(x)dx</math></font size=5>
===דוגמאות===
שורה 25 ⟵ 24:
הפונקציה רציפה בקטע זה, ולכן אינטגרבילית בקטע <math>[1,M)</math> . נקבל:
<font size=5><math>\int\limits_1^\infty\frac{dx}{x^2}=\lim_{M\to\infty}\int\limits_1^M\frac{dx}{x^2}=\lim_{M\to\infty}-\
;דוגמא 2
שורה 62 ⟵ 60:
חשב את האינטגרל של הפונקציה <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt x}</math> בקטע <math>(0,1]</math> .
<font size=5><math>\int\limits_0^1\frac{dx}{\sqrt x}=\lim_{t\to0^+}\int\limits_t^1\frac{dx}{\sqrt x}=\lim_{t\to0^+}2\sqrt x\Bigg|_t^1=\lim_{t\to0^+}\Big[2\sqrt1-2\sqrt{t}\Big]=2</math></font size=5>
;דוגמא 2
שורה 70 ⟵ 67:
הפונקציה לא-חסומה בקטע בסביבת <math>x=0</math> , כלומר עלינו לחשב את האינטגרל בקטע <math>[1,0)\cup(0,1]</math> .
<center><font size=5>
<math>\begin{align}
\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}&
שורה 77 ⟵ 74:
&=\lim_{t_1\to0^-}\Big[3\sqrt[3]{t_1}-3\sqrt[3]{-1}\Big]+\lim_{t_2\to0^+}\Big[3\sqrt[3]{1}-3\sqrt[3]{t_2}\Big]=3+3=6
\end{align}</math>
</font size=5></center>
| |||