|
===סימון חזקות===
חזקה מסמנים כאינדכס עליון למספר (או משתנה): 3 בחזקת 5 כותבים כך: <math>\ 3 ^{5}</math> .
ל-3 נקרא '''בסיס''' החזקה.
ל-5 נקרא '''מעריך''' החזקה.
* כאשר שהמעריך נמצא בחזקת שתיים נהוג לומר '''בריבוע''' במקום בחזקת שתיים: <math>\ c^{2}</math> דהיינו c בריבוע.
* כשהמעריך הוא גדול משתים יש לבטא '''בשלישית''' עבור 3, '''ברביעית''' עבור 4 וכו': <math>\ 3^{5}</math> יש לבטא 3 בחמישית.
*דרך נוספת לסמן חזקות היא באמצעות סימן הגג: ^. למשל 5^3 זה 3 בחמישית, a^b זה a בחזקת b וכו'.
===משמעות החזקה עם מעריך טבעי===
אם ה{{מונח/חזקות מעריך}} הוא {{מונח/מספר טבעי}} אזי החזקה היא '''הבסיס כפול עצמו כמספר הפעמים שכתוב במעריך'''.
לדוגמאלמשל, כדי לחשב את החזקה <math>\ 3^{4}</math> , עלינו לכפול את 3 בעצמו 4 פעמים על מנת לקבל את הערך של החזקה. כלומר:</br>
:<divmath styledisplay="direction: ltr;"block><math>\ 3^{4}=3 \times 3 times3\times 3 times3\times 3times3</math></div>
באופן כללי ניתן להציג חזקה עם {{מונח/חזקות בסיס}} <math>\ a</math> ו{{מונח/חזקות מעריך}} שהוא {{מונח/מספר טבעי}} <math>\ n</math> בצורה הבאה:
<divmath styledisplay="direction: ltr;"block><math>\ a^{n}=\underbrace{a\times{a}\times{a}\cdots\times{ a}}_{n\;\;text{ times}}</math></div>{{דוגמה|
{{דוגמה
מספר=1|
|מספר=1
שם=חשב את החזקה <math>5^3\,</math>|
תוכן|שם=חשב את החזקה <math>5^3=5\times{5}\times{5}=125 \,</math>
|תוכן=<math>5^3=5\times5\times5=125</math>
}}{{דוגמה|
}}
מספר=2|
{{דוגמה
שם=חשב את החזקה <math>2^8\,</math>|
|מספר=2
תוכן= <math>2^8=\underbrace{2\times{2}\times\cdots\times{2}}_{8\;\;times}=256 \,</math>
|שם=חשב את החזקה <math>2^8</math>
}}{{דוגמה|
|תוכן=<math>2^8=\underbrace{2\times\cdots\times2}_{8\text{ times}}=256</math>
מספר=3|
}}
שם=חשב את החזקה <math>(\frac{1}{2})^2\,</math>|
{{דוגמה
תוכן= <math>\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}\,</math>
|מספר=3
}}{{דוגמה|
|שם=חשב את החזקה <math>\left(\frac12\right)^2</math>
מספר=4|
|תוכן=<math>\left(\frac12\right)^2=\frac12\times\frac12=\frac{1\cdot1}{2\cdot2}=\frac14</math>
שם=חשב את החזקה <math>(-1)^3\,</math>>|
}}
תוכן= <math>(-1)^{3}=(-1)\times(-1)\times(-1)=(-1)\,</math>
{{דוגמה
|מספר=4
|שם=חשב את החזקה <math>(-1)^3</math>
|תוכן=<math>(-1)^3=(-1)\times(-1)\times(-1)=-1</math>
}}
===חוק החילוף אינו מתקיים בחזקה===
החזקה '''לא''' מקיימת את חוק החילוף (יש מקרים יחידים שהיא כן).
למשל: <math>10^3=10\cdot10\cdot10=1000\ne3^{10}=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=59,049</math>
לדוגמה: <math>10^3=10\cdot10\cdot10=1000\neq3^{10}=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=59,049</math>{{ש}}
===פעולות על חזקות===
כאמור עבור <math>\;a^b</math> הבסיס הוא <math>\;a</math> ואילו המעריך הוא <math>\;b</math> . יש לבטא "<math>\;a</math> בחזקת <math>\;b</math>".
{| class="wikitable" border="1"
|-
! פעולת החשבון המבוקשת
! החוק
! הסבר
! דוגמא
!דוגמה
|-
| כפל חזקות עם אותו בסיס
|<math>{a}^{b}\cdot{ a}^{c}=a^{b+c}</math>
|
נבדוק כיצד לכפול חזקות עם אותו בסיס:
:<math display=block>a^b\cdot a^c=\overbrace{\underbrace{a\times\cdots\times a}_{b\text{ times}}\cdot\underbrace{a\times\cdots\times a}_{c\text{ times}}}^{b+c\text{ times}}=a^{b+c}</math>
<div style="direction: ltr;">
<math>
a^b \cdot a^c =
\overbrace{
\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{b\;\;times} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times}
}^{b+c\;\;times} =
a^{b+c}
</math>
</div>
אם נסתכל על הנוסחה הפוך נבין כיצד לפרש סכום במכנה.
:<math display=block>a^{b+c}=\overbrace{\underbrace{a\times\cdots\times a}_{b\text{ times}}\cdot\underbrace{a\times\cdots\times a}_{c\text{ times}}}^{b+c\text{ times}}=a^b\cdot a^c</math>
<div style="direction: ltr;">
<math>
a^{b+c} =
\overbrace{
\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{b\;\;times} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times}
}^{b+c\;\;times} =
a^b \cdot a^c
</math>
</div>
על כן כאשר החזקות הן בעלות אותו הבסיס, כפל של שתי חזקות מביא ל'''חיבור/חיסור המעריכים'''.
| <math>\begin{align}a^{2}\cdot{ a}^{4}3&=(a\cdot a)\cdot(a\cdot a\cdot a)\\&=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^5=a^{2+43}=a^\end{6align}</math>
<math>10^3\cdot10^2=(10\cdot10\cdot10)\cdot(10\cdot10)=10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10=10^5=10^{3+2}</math>
|-
| חילוק חזקות עם אותו בסיס
| <math>\frac{{a}^{b}}{{a}^{c}}={a}^{b-c}</math>
| נבדוק כיצד לחלק חזקות עם אותו בסיס: <math>\frac{a^b}{a^c}</math> .
|
נבדוק כיצד לחלק חזקות עם אותו בסיס: <math>\frac{a^b}{a^c}</math>.
נבחין בשלושה מקרים.
מקרה א': <math>b>c</math> גדול מ- c.
:<math display=block>\begin{align}
<div style="direction: ltr;">
\frac{a^b}{a^c}=\frac{\overbrace{a\times\cdots\times a}^{b\text{ times}}}{\underbrace{a\times\cdots\times a}_{c\text{ times}}}\\
<math>
c+(b-c)=b\\
\frac{a^b}{a^c} =
\frac{\overbrace {a \cdottimes\cdots\times a }^{c\cdottext{ times}}\overbrace{a \times\cdots\times a}^{b-c\;text{ times}}}{\underbrace{a\;times\cdots\times a}_{c\text{ times}}}
\end{align}</math>
{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times}}
נצמצם מספר שווה של <math>a</math> במונה ובמכנה.
=
:<math display=block>\begin{align}
</math>
\frac{\overbrace{\not{a}\times\cdots\times\not{a}}^{c\text{ times}}\overbrace{a\times\cdots\times a}^{b-c\text{ times}}}{\underbrace{\not{a}\times\cdots\times\not{a}}_{c\text{ times}}}&=\overbrace{a\times\cdots\times a}^{b-c\text{ times}}\\&=a^{b-c}
</div>
\end{align}</math>
c + (b-c) = b
<div style="direction: ltr;">
<math>
\frac{\overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{c\;\;times} \overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{b-c\;\;times}}
{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times}} =
</math>
</div>
נצמצם מספר שווה של a במונה ובמכנה.
<div style="direction: ltr;">
<math>
\frac{\overbrace {\not{a} \cdot \not{a} \cdot \not{a} \cdots \not{a}}^{c\;\;times} \overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{b-c\;\;times}}
{\underbrace{\not{a} \cdot \not{a} \cdot \not{a} \cdots \not{a}}_{c\;\;times}} =
</math>
</div>
<div style="direction: ltr;">
<math>
\overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{b-c\;\;times} = a^{b-c}
</math>
</div>
ניתן להשתמש בנוסחה גם בכיוון ההפוך:
:<math display=block>a^{b-c}=\frac{a^b}{a^c}</math>
<div style="direction: ltr;">
| <math>\frac{a^3}{a^2}=\frac{a\cdot a\cdot a}{a\cdot a}=a=a^1=a^{3-2}</math>
<math>
a^{b-c} = \frac{a^b}{a^c}
</math>
</div>
|<math> \frac{5^6}{5^4}=\frac{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}{5\cdot5\cdot5\cdot5}=5\cdot5=5^2=5^{6-4}</math>
<math>\frac{a^5}{a^3} = a^{5-3} = a^2</math>
|-
| מעריך 0
| <math>\ a^0=1</math> כאשר <math>\ a\ne 0ne0</math>
| נבדוק מה קורה כאשר המעריך שווה ל-0. לצורך כך נשתמש בנוסחה לחילוק חזקות עם אותו בסיס.
נשתמש בעובדה ש <math>b-b = 0</math>
:<math display=block>a^0=a^{b-b}=\frac{a^b}{a^b}=1</math>
<div style="direction: ltr;">
לסיכום: כל מספר בחזקת 0 שווה ל-1. <math>a^0=1</math>
<math>a^0 = a^{b-b} = \frac{a^b}{a^b} = 1</math>
*יוצא מן הכלל: <math>0^0</math> . הביטוי 0 בחזקת 0 אינו מוגדר..
</div>
לסיכום: כל מספר בחזקת 0 שווה ל-1. <math>a^0 = 1</math>
* יוצא מן הכלל: <math>0^0</math>. הביטוי 0 בחזקת 0 אינו מוגדר..
|
|-
| חזקות עם מעריך שלילי
| <math display=block>a^{-b}=\frac{1}{a^b}</math>
|<math>
| נבדוק מה קורה כאשר המעריך שלילי:
a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}
:<math display=block>a^{-b}=a^{0-b}=\frac{a^0}{a^b}=\frac{1}{a^b}</math>
</math>
*הערה: 0 בחזקת מספר שלילי שוב יתן חלוקה באפס ולכן אינו מוגדר: <math>0^{-a}=\frac{1}{0^a}=\frac10</math>
|נבדוק מה קורה כאשר המעריך שלילי:
| <math>2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac14</math>
<div style="direction: ltr;">
<math>a^{-b} = a^{0-b} = \frac{a^0}{a^b} = \frac{1}{a^b}</math>
</div>
* הערה: 0 בחזקת מספר שלילי שוב ייתן חלוקה באפס ולכן אינו מוגדר: <math>0^{-a} = \frac{1}{0^a} = \frac{1}{0}</math>
|<math>2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}</math>
<math> 2^{-6}=\frac{1}{2^6}=\frac{1}{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}=\frac{1}{64}</math>
|-
| מעריך 1
| <math display=block>a^1 = a</math>
| כל מספר בחזקת 1 שווה לעצמו זאת בגלל הגדרת החזקה.
|
|-
| חזקה של חזקה
| <math display=block>{\displaystyle {\frac {(a^{m}}{ab)^{n}}}c=a^{m-n}b\cdot c}</math>
| נשתמש ב{{מונח/חוקי חזקות מכפלה}} שכבר למדנו, לכפל של שתי חזקות עם אותו {{מונח/חזקות בסיס}}.
:<math display=block>(a^b)^c=\underbrace{a^b\times\cdots\times a^b}_{c\text{ times}}=a^{\overbrace{\scriptstyle{b+\cdots+b}}^{c\text{ times}}}=a^{b\cdot c}=(a^c)^b</math>
<math>
| <math>\begin{align}(5^2)^3&=(5^2)\cdot(5^2)\cdot(5^2)=(5\cdot5)\cdot(5\cdot5)\cdot(5\cdot5)\\&=5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5=5^6=5^{2\cdot3}\end{align}</math>
{\left(a^{b}\right)}^{c}=
\underbrace{
{\left(a^{b}\right)} \times{\left(a^{b}\right)}\cdots{\left(a^{b}\right)}
}_{c\;\;times}
=
a^{\overbrace{b+b+b \cdots b}^{c\;\;times}}
=
a^{b\cdot c} }={\left(a^{c}\right)}^{b
</math>
|
<math>(5^2)^3=(5^2)\cdot(5^2)\cdot(5^2)=(5\cdot5)\cdot(5\cdot5)\cdot(5\cdot5)=5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5=5^6=5^{2\cdot3}</math>
|-
| כפל חזקות עם אותו מעריך
| <math>{\displaystyle a^{c}\cdot b^{c}=}{\displaystyle (a\cdot b)^{c}}</math>
| כאשר כופלים חזקות עם אותו מעריך, אפשר להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים. הבה נראה זאת:
:<math display=block>a^c\cdot b^c=\underbrace{a\times\cdots\times a}_{c\text{ times}}\cdot\underbrace{b\times\cdots\times b}_{c\text{ times}}</math>
על־פי {{מונח/חוק החילוף בכפל}}, נסדר אחרת את המשוואה:
<div style="direction: ltr;"><math>a^c\cdot b^c = </math></div>
:<divmath styledisplay="direction: ltr;"><mathblock>\underbrace{a\cdot underbrace{a \cdot a b}\times\cdots a}_{c\;\;times} \cdot \underbrace{ba\cdot b \cdot b \cdots b}}_{c\;\;text{ times} }= </math></div>
על פיעל־פי {{מונח/חוק החילוףהקיבוץ בכפל}}, נסדר אחרת אתנוסיף המשוואהסוגריים:
:<divmath styledisplay="direction: ltr;"block><math>\underbrace{\underbrace{(a\cdot b} )\cdot \underbrace{a \cdot b} \cdot \underbrace{a \cdot b} times\cdots \underbrace{times(a \cdot b})}_{c\;\;text{ times} }= </math></div>
על־פי הגדרת החזקה:
על פי {{מונח/חוק הקיבוץ בכפל}} נוסיף סוגריים:
:<math display=block>=(a\cdot b)^c</math>
<div style="direction: ltr;"><math>\underbrace{(a\cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdots (a \cdot b)}_{c\;\;times} = </math></div>
| <math>\bigl((-2)\cdot3\bigr)^2=(-2)^2\cdot3^2</math>
על פי הגדרת החזקה:
<div style="direction: ltr;"><math>(a\cdot b)^c </math></div>
|<math>((-2)\cdot3)^2=(-2)^2\cdot3^2</math>
|-
| חילוק חזקות עם אותו מעריך
| <math>{\displaystyle {\frac {a^{c}}{b^{c}}}=}{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{c}}</math>
|כאשר מחלקים חזקות עם אותו מעריך, באותו אופן ניתן שוב להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים. הבה נראה זאת:
:<math display=block>\frac{a^c}{b^c}=\frac{\overbrace{a\times\cdots\times a}^{c\text{ times}}}{\underbrace{b\times\cdots\times b}_{c\text{ times}}}</math>
<div style="direction: ltr;"><math>\frac{a^c}{b^c} = </math></div>
נפתח את החזקה:
<div style="direction: ltr;"><math>\frac{\overbrace{a\cdot a \cdot a \cdots a}^{c\;\;times}} {\underbrace{b\cdot b \cdot b \cdots b}_{c\;\;times}} = </math></div>
נסדר אחרת את השבר:
<divmath styledisplay="direction: ltr;"><mathblock>\underbrace{\frac{a}{b}\cdottimes\frac{a}{b}cdots\cdot\frac{a}{b}\cdotstimes\frac{a}{b}}_{c\;\;text{ times}}=</math></div>
על פיעל־פי הגדרת החזקה:
:<divmath styledisplay="direction: ltr;"><mathblock>=\left(\frac{a}{b}\right)^c </math></div>
| <math>\left(\frac{2}{3}frac23\right)^43=\frac{2}{3}frac23\cdot\frac{2}{3}frac23\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}frac23=\frac{2\cdot2\cdot2\cdot2}{3\cdot3\cdot3\cdot3}=\frac{2^43}{3^43}</math>
|-
| חזקה של 1
| <math display=block>1^a = 1</math>
| 1 בחזקת כל מספר שווה ל-1ל־1. זאת בגלל שלא משנה כמה נכפול אותו בעצמו, {{ש}}הוא יישארישאר 1 זאת בגלל הגדרת החזקה.
|
|-
| חזקה של אפס
| <math>0^a = 0</math> כאשר <math>{\displaystyle (a>0)\,}</math>
| 0 הוא מספר מיוחד בחזקות, והוא אינו מוגדר עבור כל כללכל מעריך. עם מעריך שהוא {{מונח/מספר טבעי}} ברור לנו שלא משנה כמה פעמים נכפול 0 בעצמו, נקבל 0 עבור a טבעי.
|
|}
! החוק !! דוגמה
|-
| <math>a^m \cdot a^n = a^{m+n}</math> |
| <math>10^3 \cdot 10cdot10^4 = 10^{3+4} = 10^7 = 10,000,000</math>
|-
| <math>(a \ne 0ne0)\quad \frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}</math> |
| <math>\quad \frac{10^5}{10^3}= 10^{5-3} = 10^2 = 100</math>
|-
| <math>{(a^m)}^n = a^{mn}</math> |
| <math>{(10^2)}^3 = 10^{2 \cdot 3cdot3} = 10^6 = 1,000,000</math>
|-
| <math> {(a \cdot b)}^n = a^n \cdot b^n</math> |
| <math> {(2 \cdot 5cdot5)}^3 = 2^3 \cdot 5cdot5^3 = 8 \cdot 125cdot125 = 1,000</math>
|-
| <math> (b \ne 0ne0)\quad {\left(\frac{a}{b}\right)}^n = \frac{a^n}{b^n}</math> |
| <math> \quad {\left(\frac{6}{3}frac63\right)}^2 = \frac{6^2}{3^2} = \frac{36}{9} = 4</math>
|-
| <math>10a^0=1</math>
|| <math>a10^0=1</math>
|-
| <math>a^{-b}=\frac{1}{a^b}</math>|
| <math>2^{-1} = \frac{1}{2}\,frac12</math>
|}
{{תוכן|
| הפרק הקודם=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי פעולות החשבון|חוקי פעולות החשבון]]
| הפרק הנוכחי=חוקי חשבון חזקות
| תרגילים=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי חשבון חזקות/תרגילים|תרגילים]]
| הפרק הבא=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חזקות ושורשים|חזקות ושורשים]]
}}
| 