פעולת החשבון המבוקשת
החוק
הסבר
דוגמא
כפל חזקות עם אותו בסיס
a
b
⋅
a
c
=
a
b
+
c
{\displaystyle a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c}}
נבדוק כיצד לכפול חזקות עם אותו בסיס:
a
b
⋅
a
c
=
a
×
⋯
×
a
⏟
b
times
⋅
a
×
⋯
×
a
⏟
c
times
⏞
b
+
c
times
=
a
b
+
c
{\displaystyle a^{b}\cdot a^{c}=\overbrace {\underbrace {a\times \cdots \times a} _{b{\text{ times}}}\cdot \underbrace {a\times \cdots \times a} _{c{\text{ times}}}} ^{b+c{\text{ times}}}=a^{b+c}}
אם נסתכל על הנוסחה הפוך נבין כיצד לפרש סכום במכנה.
a
b
+
c
=
a
×
⋯
×
a
⏟
b
times
⋅
a
×
⋯
×
a
⏟
c
times
⏞
b
+
c
times
=
a
b
⋅
a
c
{\displaystyle a^{b+c}=\overbrace {\underbrace {a\times \cdots \times a} _{b{\text{ times}}}\cdot \underbrace {a\times \cdots \times a} _{c{\text{ times}}}} ^{b+c{\text{ times}}}=a^{b}\cdot a^{c}}
על כן כאשר החזקות הן בעלות אותו הבסיס, כפל של שתי חזקות מביא לחיבור/חיסור המעריכים .
a
2
⋅
a
3
=
(
a
⋅
a
)
⋅
(
a
⋅
a
⋅
a
)
=
a
⋅
a
⋅
a
⋅
a
⋅
a
=
a
5
=
a
2
+
3
{\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}\cdot a^{3}&=(a\cdot a)\cdot (a\cdot a\cdot a)\\&=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{5}=a^{2+3}\end{aligned}}}
חילוק חזקות עם אותו בסיס
a
b
a
c
=
a
b
−
c
{\displaystyle {\frac {a^{b}}{a^{c}}}=a^{b-c}}
נבדוק כיצד לחלק חזקות עם אותו בסיס:
a
b
a
c
{\displaystyle {\frac {a^{b}}{a^{c}}}}
נבחין בשלושה מקרים.
מקרה א':
b
>
c
{\displaystyle b>c}
a
b
a
c
=
a
×
⋯
×
a
⏞
b
times
a
×
⋯
×
a
⏟
c
times
c
+
(
b
−
c
)
=
b
a
×
⋯
×
a
⏞
c
times
a
×
⋯
×
a
⏞
b
−
c
times
a
×
⋯
×
a
⏟
c
times
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a^{b}}{a^{c}}}={\frac {\overbrace {a\times \cdots \times a} ^{b{\text{ times}}}}{\underbrace {a\times \cdots \times a} _{c{\text{ times}}}}}\\c+(b-c)=b\\{\frac {\overbrace {a\times \cdots \times a} ^{c{\text{ times}}}\overbrace {a\times \cdots \times a} ^{b-c{\text{ times}}}}{\underbrace {a\times \cdots \times a} _{c{\text{ times}}}}}\end{aligned}}}
נצמצם מספר שווה של
a
{\displaystyle a}
⧸
a
×
⋯
×
⧸
a
⏞
c
times
a
×
⋯
×
a
⏞
b
−
c
times
⧸
a
×
⋯
×
⧸
a
⏟
c
times
=
a
×
⋯
×
a
⏞
b
−
c
times
=
a
b
−
c
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\overbrace {\not {a}\times \cdots \times \not {a}} ^{c{\text{ times}}}\overbrace {a\times \cdots \times a} ^{b-c{\text{ times}}}}{\underbrace {\not {a}\times \cdots \times \not {a}} _{c{\text{ times}}}}}&=\overbrace {a\times \cdots \times a} ^{b-c{\text{ times}}}\\&=a^{b-c}\end{aligned}}}
ניתן להשתמש בנוסחה גם בכיוון ההפוך:
a
b
−
c
=
a
b
a
c
{\displaystyle a^{b-c}={\frac {a^{b}}{a^{c}}}}
a
3
a
2
=
a
⋅
a
⋅
a
a
⋅
a
=
a
=
a
1
=
a
3
−
2
{\displaystyle {\frac {a^{3}}{a^{2}}}={\frac {a\cdot a\cdot a}{a\cdot a}}=a=a^{1}=a^{3-2}}
מעריך 0
a
0
=
1
{\displaystyle a^{0}=1}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
נבדוק מה קורה כאשר המעריך שווה ל-0. לצורך כך נשתמש בנוסחה לחילוק חזקות עם אותו בסיס.
נשתמש בעובדה
b
−
b
=
0
{\displaystyle b-b=0}
a
0
=
a
b
−
b
=
a
b
a
b
=
1
{\displaystyle a^{0}=a^{b-b}={\frac {a^{b}}{a^{b}}}=1}
לסיכום: כל מספר בחזקת 0 שווה ל-1.
a
0
=
1
{\displaystyle a^{0}=1}
יוצא מן הכלל:
0
0
{\displaystyle 0^{0}}
חזקות עם מעריך שלילי
a
−
b
=
1
a
b
{\displaystyle a^{-b}={\frac {1}{a^{b}}}}
נבדוק מה קורה כאשר המעריך שלילי:
a
−
b
=
a
0
−
b
=
a
0
a
b
=
1
a
b
{\displaystyle a^{-b}=a^{0-b}={\frac {a^{0}}{a^{b}}}={\frac {1}{a^{b}}}}
הערה: 0 בחזקת מספר שלילי שוב יתן חלוקה באפס ולכן אינו מוגדר:
0
−
a
=
1
0
a
=
1
0
{\displaystyle 0^{-a}={\frac {1}{0^{a}}}={\frac {1}{0}}}
2
−
2
=
1
2
2
=
1
4
{\displaystyle 2^{-2}={\frac {1}{2^{2}}}={\frac {1}{4}}}
מעריך 1
a
1
=
a
{\displaystyle a^{1}=a}
כל מספר בחזקת 1 שווה לעצמו זאת בגלל הגדרת החזקה.
חזקה של חזקה
(
a
b
)
c
=
a
b
⋅
c
{\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{b\cdot c}}
נשתמש בחוקי חזקות שכבר למדנו, לכפל של שתי חזקות עם אותו בסיס .
(
a
b
)
c
=
a
b
×
⋯
×
a
b
⏟
c
times
=
a
b
+
⋯
+
b
⏞
c
times
=
a
b
⋅
c
=
(
a
c
)
b
{\displaystyle (a^{b})^{c}=\underbrace {a^{b}\times \cdots \times a^{b}} _{c{\text{ times}}}=a^{\overbrace {\scriptstyle {b+\cdots +b}} ^{c{\text{ times}}}}=a^{b\cdot c}=(a^{c})^{b}}
(
5
2
)
3
=
(
5
2
)
⋅
(
5
2
)
⋅
(
5
2
)
=
(
5
⋅
5
)
⋅
(
5
⋅
5
)
⋅
(
5
⋅
5
)
=
5
⋅
5
⋅
5
⋅
5
⋅
5
⋅
5
=
5
6
=
5
2
⋅
3
{\displaystyle {\begin{aligned}(5^{2})^{3}&=(5^{2})\cdot (5^{2})\cdot (5^{2})=(5\cdot 5)\cdot (5\cdot 5)\cdot (5\cdot 5)\\&=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^{6}=5^{2\cdot 3}\end{aligned}}}
כפל חזקות עם אותו מעריך
a
c
⋅
b
c
=
(
a
⋅
b
)
c
{\displaystyle a^{c}\cdot b^{c}=(a\cdot b)^{c}}
כאשר כופלים חזקות עם אותו מעריך, אפשר להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים:
a
c
⋅
b
c
=
a
×
⋯
×
a
⏟
c
times
⋅
b
×
⋯
×
b
⏟
c
times
{\displaystyle a^{c}\cdot b^{c}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{c{\text{ times}}}\cdot \underbrace {b\times \cdots \times b} _{c{\text{ times}}}}
על־פי חוק החילוף , נסדר אחרת את המשוואה:
a
⋅
b
⏟
×
⋯
×
a
⋅
b
⏟
⏟
c
times
=
{\displaystyle \underbrace {\underbrace {a\cdot b} \times \cdots \times \underbrace {a\cdot b} } _{c{\text{ times}}}=}
על־פי חוק הקיבוץ נוסיף סוגריים:
(
a
⋅
b
)
×
⋯
×
(
a
⋅
b
)
⏟
c
times
=
{\displaystyle \underbrace {(a\cdot b)\times \cdots \times (a\cdot b)} _{c{\text{ times}}}=}
על־פי הגדרת החזקה:
=
(
a
⋅
b
)
c
{\displaystyle =(a\cdot b)^{c}}
(
(
−
2
)
⋅
3
)
2
=
(
−
2
)
2
⋅
3
2
{\displaystyle {\bigl (}(-2)\cdot 3{\bigr )}^{2}=(-2)^{2}\cdot 3^{2}}
חילוק חזקות עם אותו מעריך
a
c
b
c
=
(
a
b
)
c
{\displaystyle {\frac {a^{c}}{b^{c}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{c}}
כאשר מחלקים חזקות עם אותו מעריך, באותו אופן ניתן שוב להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים:
a
c
b
c
=
a
×
⋯
×
a
⏞
c
times
b
×
⋯
×
b
⏟
c
times
{\displaystyle {\frac {a^{c}}{b^{c}}}={\frac {\overbrace {a\times \cdots \times a} ^{c{\text{ times}}}}{\underbrace {b\times \cdots \times b} _{c{\text{ times}}}}}}
נסדר אחרת את השבר:
a
b
×
⋯
×
a
b
⏟
c
times
=
{\displaystyle \underbrace {{\frac {a}{b}}\times \cdots \times {\frac {a}{b}}} _{c{\text{ times}}}=}
=
(
a
b
)
c
{\displaystyle =\left({\frac {a}{b}}\right)^{c}}
(
2
3
)
3
=
2
3
⋅
2
3
⋅
2
3
=
2
⋅
2
⋅
2
3
⋅
3
⋅
3
=
2
3
3
3
{\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {2\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot 3}}={\frac {2^{3}}{3^{3}}}}
חזקה של 1
1
a
=
1
{\displaystyle 1^{a}=1}
1 בחזקת כל מספר שווה ל־1. זאת בגלל שלא משנה כמה נכפול אותו בעצמו,
חזקה של אפס
0
a
=
0
{\displaystyle 0^{a}=0}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
0 הוא מספר מיוחד בחזקות, והוא אינו מוגדר לכל מעריך. עם מעריך שהוא מספר טבעי ברור לנו שלא משנה כמה פעמים נכפול 0 בעצמו, נקבל 0.
