|
;משפט
תהי <math>a_n</math> סדרה מונוטונית שואפת ל-0ל־0 ותהי <math>b_n</math> סדרה שעבורהעבורה קיים מספר חיובי <math>M>0</math> כך שלכל <math>N\in\N</math> מתקיים <math>\left|\sum_{n=1}^N{b_n}\right|<M</math> .
אזי הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_na_nb_n</math> מתכנס.
;===הוכחה===
====שלב א====
תהי <math>S_nB_n=\sum_{k=1}^n b_n</math> סדרת הסכומים החלקיים של <math>b_n</math> , כלומר: <math>S_n=\sum_{k=1}^n b_n</math> . אם נגדיר: <math>S_0B_0=0</math> , נוכל לרשום לכל <math>n\in\N</math> טבעי:
<center>:<math>b_n=S_nB_n-S_B_{n-1}</math></center>
ולכן:
:<math display=block>\begin{align}\sum_{n=1}^Na_nb_n&=\sum_{n=1}^Na_n(B_n-B_{n-1})\\&=\sum_{n=1}^Na_nB_n-\sum_{n=1}^Na_nB_{n-1}\\&=\sum_{n=1}^Na_nB_n-\sum_{n=0}^{N-1}a_{n+1}B_n\qquad:B_0=0\\&=\sum_{n=1}^{N-1}B_n(a_n-a_{n+1})+a_NB_N\end{align}</math>
<center>
<math>\sum_{n=1}^N a_n\cdot b_n=\sum_{n=1}^N a_n(S_n-S_{n-1})=\sum_{n=1}^N a_n\cdot S_n-\sum_{n=1}^N a_n\cdot S_{n-1}=\sum_{n=1}^N a_n\cdot S_n-\sum_{n=0}^{N-1}a_{n+1}\cdot S_n</math>
</center>
וכיון ש- <math>S_0=0</math> :
<center><math>=\sum_{n=1}^N a_n\cdot S_n-\sum_{n=1}^{N-1}a_{n+1}\cdot S_n=\sum_{n=1}^{N-1}\Big[S_n(a_n-a_{n+1})\Big]+a_N\cdot S_N</math></center>
ולסיכום הגענו לנוסחא:
<center><math>\sum_{n=1}^N a_n\cdot b_n=\sum_{n=1}^{N-1}\Big[S_n(a_n-a_{n+1})\Big]+a_N\cdot S_N</math></center>
====שלב ב====
נניח ללא הגבלת הכלליות כי הסדרה <math>a_n</math> מונוטונית יורדת וחיובית, כלומר <math>a_n\ge a_{n+1}</math> . אנו רשאים לעשות כן, שכן אם <math>a_n</math> מונוטונית עולה ושלילית, הרי הסדרה <math>-a_n</math> היא מונוטונית יורדת וחיובית,
ואם הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\big[(-a_n\cdot b_n\big]a_nb_n)</math> מתכנס, גם הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_na_nb_n=-\sum_{n=1}^\infty\big[(-a_n\cdot b_n\big]a_nb_n)</math> מתכנס, כי הוא כפל בקבוע של טור מתכנס.
כעת נוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty S_nB_n(a_n-a_{n+1})</math> [[הוכחות מתמטיות../חשבון אינפיניטסימלי../טורים ומבחני התכנסות/התכנסות בהחלט גוררת התכנסות|מתכנס בהחלט, ובפרט מתכנס]].
נתון שסדרת הסכומים החלקייםכי <math>S_nB_n</math> חסומה. יהי <math>M</math> חסם שלה, כלומר <math>\forall n\in\N:|S_nB_n|\le <M</math> . אזי לכל <math>N</math> טבעי מתקיים
<center>:<math display=block> \begin{align}\sum_{n=1}^N\Big| S_nB_n(a_n-a_{n+1})\Big| &=\sum_{n=1}^N| S_nB_n|\cdot\ Bigbigl|a_n-a_{n+1}\ Bigbigr|\ le \&<M\cdot\sum_{n=1}^N\ Bigbigl|a_n-a_{n+1}\ Bigbigr| \\&=M\cdot\sum_{n=1}^N(a_n-a_{n+1})\\&=M(a_1-a_{N+1})\le M\cdot a_1\end{align}</math> </center> ▼
ובזאת הוכחנו שסדרת הסכומים החלקיים של <math>\Big| S_nB_n(a_n-a_{n+1})\Big|</math> היא סדרה חסומה. ▼אז לכל <math>N</math> טבעי מתקיים:
▲<center><math>\sum_{n=1}^N\Big|S_n(a_n-a_{n+1})\Big|=\sum_{n=1}^N|S_n|\cdot\Big|a_n-a_{n+1}\Big|\le M\cdot\sum_{n=1}^N\Big|a_n-a_{n+1}\Big|</math></center>
וכיון ש- <math>a_n</math> מונוטונית יורדת וחיובית, <math>a_n-a_{n+1}\ge0</math> וכן <math>a_{n+1}\ge0</math> , לכן:
<center><math>=M\cdot\sum_{n=1}^N (a_n-a_{n+1})=M(a_1-a_{N+1})\le M\cdot a_1</math></center>
▲ובזאת הוכחנו שסדרת הסכומים החלקיים של <math>\Big|S_n(a_n-a_{n+1})\Big|</math> היא סדרה חסומה.
סדרה זו היא גם מונוטונית עולה, כי היא סדרת סכומים חלקיים של סדרה שכל אבריה אי-שליליים.
| 