|
==סימונים והגדרות מקובלות במשוואות לינאריות==
{{הגדרה|
'''משוואות לינאריות''' הן משוואות שבהן כל המשתנים (נעלמים) הם ממעלה 1.
מספר=1|
שם=משוואה ליניארית ב-n נעלמים|
תוכן=משוואה ליניארית ב-<math>n</math> נעלמים היא משוואה מהצורה: <math>ax_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b</math>
כאשר ה'''נעלמים''' <math>x_1,...,x_n</math> ממעלה ראשונה ו-<math>b</math> מייצג את פתרון המערכת ונקרא '''מקדם חופשי'''.
}}
ניתן לייצג משוואה לינארית כסכום של הסקלרים והנעלמים בה, <math>ax_1+a_2x_2+...+a_nx_n=\sum_{j=i}^N ajxi</math>
דוגמא 1 - מערכת של שתי משוואות ושני נעלמים: ▼*<math>a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1</math>
*<math>a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2</math>
במשוואות אלו שני משתנים, <math>x_1,x_2</math> , {{כ}}4 מקדמים למשתנים, <math>a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}</math> , ושני מקדמים חופשיים <math>b_1,b_2</math> .
{{הגדרה|
בצורה דומה ניתן לכתוב מערכת עם n משוואות ו-n נעלמים:
מספר=2|
שם=מערכת m משוואות ליניאריות ב-n נעלמים|
תוכן=
▲דוגמא 1 - מערכת שלעם שתיn משוואות ושניו-n נעלמים:
<math>a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\cdots+a_{1n}x_n=b_1</math> ▼
<math>a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\cdots+a_{2n}x_n=b_2</math> ▼
<math>a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\cdots+a_{3n}x_n=b_3</math> ▼
<math>\vdots\quad\quad</math> ▼
<math>a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3+\cdots+a_{nn}x_n=b_n</math> ▼
כדי לקצר את הכתיבה נגדיר:
<math>b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}</math>
<math>x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}</math>
<math>
A=\left(\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{matrix}\right)</math>
m
בעצם A תהיה מטריצה (טבלה) של המקדמים של כל הנעלמים בכל משוואה, x יהיה וקטור (עוד לא הגדרנו. פה נגיד שזה פשוט עמודה) של הנעלמים, ו- b יהיה וקטור של "המספרים החופשיים" בכל משוואה.
\begin{cases}
▲<math>\overbrace{a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\cdots+a_{1n}x_n }^{n}=b_1 </math>\\
▲<math>a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 </math> \\
▲<math>a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\cdots+a_{3n}x_n=b_3 </math>\\
▲<math>\vdots\quad\quad </math>\\
▲<math>a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3+\cdots+a_{nn}x_n=b_n </math>
\end{cases}
נסמן בקיצור אתתהי מערכת המשוואותמשוואות בצורה:ותסומן <math>Ax=b</math> (הערה: <ref>יש כאן קשר ישיר לכפל מטריצות, דבר שנלמד בעמוד הבא של הספר. אתם מוזמנים לחזור לפה אחרי שתסיימושתלמדו את העמוד הזה והעמודכפל הבאבמטריצה ולנסות לבדוק למה זה באמת כפל מטריצות).</ref>}}
כעת ניקח את המשוואות שלנו ונכתוב אותם בצורה הבאה:
:<math>
\left(\begin{array}{rrrr|r}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m
\end{array}\right)
כל שורה מייצגת משוואה רק שלא כתבנו את הנעלמים שלנו.
לדוגמא: את מערכת המשוואות
*<math>2x_1+x_2=10</math>
*<math>x_1-x_2=5</math>{{ש}}
נרשום בצורה הבאה: <math>\left(\begin{array}{rr|r}2 & 1 &10\\ 1 & -1 & 5 \end{array}\right)</math>
{{ש}}
ניתן לעשות 3 פעולות על המשוואות בלי לשנות את פתרונות המערכת:{{ש}}
*החלפת שורות של המשוואות{{ש}}
*כפל משוואה בסקלר{{ש}}
*חיבור שורה כפול סקלר לשורה אחרת{{ש}}
3 הפעולות האלה נקראות '''פעולות שורה''' כיוון שכל משוואה היא שורה במטריצה A|b (זהו סימון למטריצה שחלקה השמאלי הוא המטריצה A וחלקה הימני הוא מטריצה b) ולכן כל פעולה על משוואה היא פעולה על שורה במטריצה זו.
| 