אלגברה לינארית/העתקות לינאריות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Texvc2LaTeXBot (שיחה | תרומות) מ החלפת קוד LaTeX מיושן mw:Extension:Math/Roadmap |
|||
שורה 1:
==העתקה לינארית==
[[קובץ:Kern Mathematik.svg|ממוזער]]
{{הגדרה|
מספר=1|
שם=העתקה לינארית |
תוכן= יהיו <math> V,W,Z</math> מ"ו ו-<math> T:V\to W</math> ו-<math>S:W\to Z</math> ה"ל. יהיו <math>B,C,D</math> בסיסים סדורים של <math>V,W,Z</math> בהתאמה.
אזי <math>S\circ T</math> היא העתקה ליניארית ומתקיים:<math>\left[S\circ T\right]_{D}^{B}=\left[S\right]_{D}^{C}\cdot\left[T\right]_{C}^{B}
</math>}}
{{דוגמה|
מספר=1|
שם=העתקות לינאריות|
תוכן=תהי <math>T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}</math> ההעתקה המוגדרת ע"י <math>T\left(\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}x_{1}+x_{2}\\
x_{2}+x_{3}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}</math>
ו-<math>S:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{5}</math> להיות ההעתקה המוגדרת ע"י <math>S\left(\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}
\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}x_{1}+x_{2}\\
x_{1}-x_{2}\\
x_{1}\\
x_{2}\\
2x_{1}+x_{2}
\end{bmatrix}
</math>
אז <math>S\circ T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{5}</math> היא ההעתקה <math>S\circ T\left(\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}x_{1}+2x_{2}+x_{3}\\
x_{1}-x_{3}\\
x_{1}+x_{2}\\
x_{2}+x_{3}\\
2x_{1}+3x_{2}+x_{3}
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\
1 & 0 & -1\\
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1\\
2 & 3 & 1
\end{bmatrix}
</math>
לחילופין, נתבונן <math>\left[S\circ T\right]_{D}^{B}=\left[S\right]_{D}^{C}\cdot\left[T\right]_{C}^{B}</math>.
נציב את ההעתקה המקיימת <math> \left[T\right]_{\mathcal{E}_{3}}^{\mathcal{E}_{2}}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}</math>
ואת ההעתקה המקיימת <math>\left[S\right]_{\mathcal{E}_{5}}^{\mathcal{E}_{2}}=\begin{bmatrix}1 & 1\\
1 & -1\\
1 & 0\\
0 & 1\\
2 & 1
\end{bmatrix}</math>
אז <math>\left[S\right]_{\mathcal{E}_{5}}^{\mathcal{E}_{2}}\cdot\left[T\right]_{\mathcal{E}_{3}}^{\mathcal{E}_{2}}=\begin{bmatrix}1 & 1\\
1 & -1\\
1 & 0\\
0 & 1\\
2 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\
1 & 0 & -1\\
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1\\
2 & 3 & 1
\end{bmatrix}=\left[S\circ T\right]_{\mathcal{E}_{5}}^{\mathcal{E}_{3}}</math>
}}
{{הגדרה|
מספר=1|
| |||