|
==גרעין==
[[קובץ:LinearTransformationToVectorialSpace.png|ממוזער|סקיצת ההעתקההעתקה ליניאריתלינארית בין מרחבים וקטוריים, עם תיאור הגרעין והתמונה]]
{{הגדרה|
שם=גרעין|
תוכן=
יהיו <math>V,W</math> מרחבים וקטוריים מעל <math>\mathbb{Bbb F}</math> ותהי <math>T:V\to W</math> ה"ל. הגרעין של <math>T</math> הנו <math>\text{Ker}(T)=\{v\in V:T(v)=\vec0_W\}\sube V</math>
הגרעין של <math>T</math> הינו
<math>\text{Ker}(T)=\{v\in V|T(v)=0_W\}\subseteq V</math>
}}
{{משפט|
מספר=1|
שם=<math>\text{Im}(T)</math> היא תת מרחבתת־מרחב של <math>W</math>|
תוכן=
נוכיח הגדרת תת מרחבתת־מרחב:
# מאחר שש־<math>T\left(0\rightvec0)=0\vec0</math> מתקיים <math>0\vec0\in\text{Im}(T)</math>.
# סגירות לחיבור: אם <math>w_\vec{1w}_1,w_\vec{2w}_2\in\text{Im}(T)</math>, אזי קיימים <math>v_\vec{1v}_1,v_\vec{2v}_2\in V</math> כךעבורם ש<math>T\left(v_{1}\right)=w_{1}</math> ו <math>T\left(v_{2}\right)=w_{2}</math>.<math>T\left(v_{1}+v_{2}\right)=T\left(v_{1}\right)+T\left(v_{2}\right)=w_{1}+w_{2}</math>. לכן <math>w_{1}+w_{2}\in\text{Im}T</math>.
#:<math>T(\vec{v}_1)=\vec{w}_1,T(\vec{v}_2)=\vec{w}_2</math>
# בדיקת סגירות ביחס לכפל בסקלר בדומה. ▼#:<math>T(\vec{v}_1+\vec{v}_2)=T(\vec{v}_1)+T(\vec{v}_2)=\vec{w}_1+\vec{w}_2</math>
#:לכן <math>\vec{w}_1+\vec{w}_2\in\text{Im}(T)</math>.
▲# בדיקת סגירות ביחס לכפל בסקלר בדומה.
}}
שם=תמונה|
תוכן=
יהיו <math>V,W</math> מרחבים וקטוריים מעל <math>\mathbb{Bbb F}</math> ותהי <math>T:V\to W</math> ה"ל. התמונה של <math>T</math> תהיה
:<math>\mboxtext{Im}(T)=\{T(\vec{v})|:\vec{v}\in V\}=\{\vec{w}\in W|:\exists\ \vec{v}\in V:T(u\vec{v})=\vec{w}\}\subseteqsube W</math>
}}
{{משפט|
מספר=2|
שם=<math>\ker (T)</math> הוא תת מרחבתת־מרחב של <math>V</math>|
תוכן=נוכיח הגדרת תת מרחבתת־מרחב:
# מאחר ש ש־<math>T \left( 0\ rightvec0)= 0 \vec0</math> אזמתקיים <math> 0\vec0\in\ ker text{Ker}(T )</math> .▼
# סגירות לחיבור -: אם <math> v_\vec{ 1v} _1, v_\vec{ 2v} _2\in\ker (T )</math> אז <math>T (\ left(v_vec{ 1v} \right_1)=T (\ left(v_vec{ 2v} \right_2)= 0\vec0</math> מכאן <math>T \left( v_\vec{ 1v} _1+ v_\vec{ 2v} \right_2)=T (\ left(v_vec{ 1v} \right_1)+T \left( v_\vec{ 2v} \right_2)= 0\vec0+ 0\vec0= 0 \vec0</math> ▼▲# מאחר ש <math>T\left(0\right)=0 </math> אז <math> 0\in\ker T</math>
▲# סגירות לחיבור - אם <math>v_{1},v_{2}\in\ker T</math> אז <math>T\left(v_{1}\right)=T\left(v_{2}\right)=0</math> מכאן <math>T\left(v_{1}+v_{2}\right)=T\left(v_{1}\right)+T\left(v_{2}\right)=0+0=0 </math>
}}
מספר=1.8.1|
שם=האפסיות של T|
תוכן=האפסיות של T (מסומן:<math>\nuT</math>) שווה למימדלממד הגרעין כלומר <math>\nu (T)=\dim\bigl(\mboxtext{Ker}(T)\bigr)</math>}}
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
| 