סדרות חסומות ותכונותיהן: הבדלים בין גרסאות בדף

אין תקציר עריכה
 
 
}}}}
 
==סדרות מונוטוניות==
{{הגדרה|שם=סדרה עולה ויורדת|תוכן=
תהי <math>(a_{n})_{n=1}^{\infty}</math> סדרה, נקרא לסדרה הזו '''סדרה עולה''' אם לכל <math>n \in \mathbb{N}</math>, מתקיים <math>a_n \le a_{n+1}</math>, ונקרא לה '''סדרה יורדת''' אם לכל <math>n \in \mathbb{N}</math>, מתקיים <math>a_n \ge a_{n+1}</math>}}
 
{{הגדרה|שם=סדרה מונוטונית|תוכן=
תהי <math>(a_{n})_{n=1}^{\infty}</math> סדרה, נקרא לסדרה הזו '''סדרה מונוטונית''', אם היא סדרה עולה או יורדת.}}
 
{{משפט|שם=תהי <math>(a_{n})_{n=1}^{\infty}</math> סדרה, אם היא סדרה עולה וחסומה אז מתקיים <math>\underset{n\to\infty}{\lim}a_n=\sup (a_n|n \in \mathbb{N})</math>, אם היא יורדת וחסומה אז מתקיים <math>\underset{n\to\infty}{\lim}a_n=\inf (a_n|n \in \mathbb{N})</math>. |תוכן=
 
{{הוכחה|
נוכיח את המקרה שהסדרה <math>(a_{n})_{n=1}^{\infty}</math> עולה וחסומה, ההוכחה למקרה שבו <math>(a_{n})_{n=1}^{\infty}</math> יורדת אנלוגית לחלוטין.
 
תהי <math>(a_{n})_{n=1}^{\infty}</math> סדרה עולה וחסומה, כיוון שהקבוצה <math>(a_n | n \in \mathbb{N})</math> לא ריקה וחסומה, קיים לה סופרמום, לכן נסמן <math>S=\sup (a_n|n \in \mathbb{N})</math>.
 
יהי <math>\epsilon>0</math>, לפי הגדרת הסופרמום קיים <math>N \in \mathbb{N}</math> כך שמתקיים <math>a_N>S-\epsilon</math>, ומההנחה שהיא סדרה עולה, לכל <math>n>N</math> מתקיים <math>a_n\ge a_N</math>, וגם מההנחה ש<math>S</math> הוא סופרמום, הוא בוודאי
חסם מעיל מינימלי, ולכן <math>a_n\le S</math>, ומתקיים <math>a_n<S +\epsilon</math>, ולכן לכל <math>n>N</math> יתקיים <math>L-\epsilon<a_n<L+\epsilon </math>, כלומר <math>|a_n-S|<\epsilon</math>, וזו בדיוק הגדרת הגבול ולכן <math>\underset{n\to\infty}{\lim}a_n=\sup (a_n|n \in \mathbb{N})=S</math>.
 
 
}}}}
 
 
==הלמה של קנטור==