מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי חשבון חזקות: הבדלים בין גרסאות בדף

חזקות הן מעין הכללה של פעולת הכפל, ומאפשרות לכתוב ביטויים מסובכים בצורה פשוטה.

את החזקה מסמנים כמעין אינדכס עליון למספר (או משתנה). לדוגמא, אם נרצה לכתוב 3 בחזקת 5 יש לכתוב זאת כך:

<div style="text-align:center; direction:ltr;">

במקרה זה נקרא את זה כ-''3 בחזקת 5''. ה-5 יקרא '''מעריך''' החזקה, ואילו ה-3 יקרא '''הבסיס''' שלה. אם המעריך הוא 2 אז אומרים '''בריבוע''' ואם הוא 3 או 4 אז אומרים בשלישית או ברביעית וכו'.

 

אם המעריך של חזקה הוא מספר טבעי (דוגמת 1,2,3... וכו') אז נגדיר את החזקה להיות הבסיס כפול עצמו כמספר הפעמים שכתוב במעריך. לדוגמא, אם כתוב <math>\ 3^{4}</math> אז למעשה עלינו לכפול את 3 בעצמו 4 פעמים על מנת לקבל את הערך של החזקה. כלומר:</br>

<center>

וכן הלאה.

 

כאשר החזקות הן בעלות אותו הבסיס, כפל של שתי חזקות מביא ל'''חיבור/חיסור המעריכים''' כלומר

<center>

</center>

 

<center>

<math>\frac{{a}^{b}}{{a}^{c}}={a}^{b-c}</math></br>

נשים לב שחיסור חזקות יוכל להביא לכך שהמעריך יהיה אפס או מספר שלילי. לכן נראה בהמשך כיצד ניתן להגדיר חזקות עם מעריך שאינו מספר חיובי בצורה שתהיה אחידה עם החוק שהצגנו כאן.

 

נבדוק מה קורה במקרה של חזקה של חזקה. למשל במקרה של

<center>

</math>

</center>

חזקות אלו לפי ההגדרה תמיד שוות 1 לבסיס שונה מ-0. כלומר, לכל <math>\ a\ne 0</math> מתקיים <math>\ a^0=1</math>.

 

בהצדקה הזו לא ניתן להשתמש כאשר הבסיס הוא 0, ואכן לרוב הביטוי <math>\ 0^0</math> נותר בלתי מוגדר. עם זאת נוח במקרים מסויימים להגדיר אותו בתור 1 גם כן. לא נציג כאן מקרים אלו.

 

חזקות בעלות מעריך שלילי מוגדרות להיות ההופכי של חזקה דומה עם מעריך חיובי. כלומר</br>

<center>