חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ תיקון טעות הקלדה |
←הגדרה מדויקת לגבולות חד-צדדיים: - התחלת עבודה |
||
שורה 57:
==הגדרה מדויקת לגבולות חד-צדדיים==
הבא ניזכר בפונקציה <div align=left><math>h(x)=\left\{\begin{matrix}1,&\mbox{if }x>0\\-1,&\mbox{if }x<0\end{matrix}\right.</math></div>.<br />
האם לפונקציה זו קיים גבול עבור x=0 ? אנו טוענים שלא. נראה זאת:<br />
נניח בשלילה שקיים גבול L לפונקציה עבור x=0, כלומר מתקיים <math>\lim_{x \to 0}h(x)=L</math>. ע"פ ההגדרה: לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math>
כך שאם <math>0 < \left| {x - 0} \right| = \left| {x} \right|< \delta</math> , אז מתקיים <math>\left| {h\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math>. <br />
ניקח לדוגמא אם כן <math>\varepsilon = 1</math>, אשר עבורו קיים <math>\delta=\delta_0</math> מתאים.
נסמן <math>x_1 = {\delta_0 \over 2}</math> וכן <math>x_2 = -{\delta_0 \over 2}</math>, ומתקיים:
<math>\left| {x_1} \right|< \delta_0</math>
ולכן <math>\left| {h(x_1) - L} \right| = \left| {1 - L} \right| < 1 </math>,
כלומר לאחר פתיחת הערך המוחלט והעברת אגף <math>0 < L</math>.<br />
אם נעשה את הדבר עם <math>x_2</math> נקבל כי <math>\left| {h(x_2) - L} \right| = \left| {-1 - L} \right| < 1 </math>
כלומר נקבל <math>0 > L</math>.<br />
קיבלנו סתירה ולכן לא קיים גבול. עם זאת, אנו מרגישים כי אם "נתקרב" לאפס רק מכיוון אחד כל פעם, נקבל גבול - אם נתקרב מהכיוון החיובי נקבל גבול <math>L^{+} =1</math>, בעוד שאם נתקרב מהכיוון השלילי נקבל גבול <math>L^{-} = -1</math>.
==הגדרה מדויקת לגבולות אינסופיים==
| |||