חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

נביט בפונקציה <math>h_1(x) = {{1} \over {x^2}}</math>. ברור לנו כי בנקודה <math>\ x=0</math> עצמה הפונקציה אינה מוגדרת. ומה קורה בסביבה קרובה של x? ככל שאנו מתקרבים לנקודה x=0 הפונקציה מקבלת ערכים הולכים וגדלים. למעשה אין חסם עליון על הערכים שהפונקציה יכולה לקבל, וניתן לקבל ערך גדול כרצוננו לפונקציה. למצב זה נקרא "גבול אינסופי" ונגיד כי "<math>\ h_1</math> שואפת לאינסוף ב-0".<br />

בצורה אנלוגית עבור <math>h_2(x) = -{{1} \over {x^2}}</math> נגיד כי "h_1<math>\ h_2</math> שואפת למינוס אינסוף ב-0". <br />

א. תהי <math>\ f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר a, מלבד אולי ב-<math>\ a</math> עצמו. נאמר כי הגבול של <math>\ f(x)</math> כאשר <math>\ x</math> שואף ל-<math>\ a</math> הוא <math>\infty</math>, ונכתוב <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = \infty</math>

אם לכל מספר <math>\ M > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> , אז מתקיים <math>\ f(x) > M</math>.

ב. תהי <math>\ g</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר a, מלבד אולי ב-<math>\ a</math> עצמו. נאמר כי הגבול של <math>\ g(x)</math> כאשר <math>\ x</math> שואף ל-<math>\ a</math> הוא <math>-\infty</math>, ונכתוב <math>\lim _{x \to a} g\left( x \right) = -\infty</math>

אם לכל מספר <math>\ M < 0</math> קיים מספר <math>\ \delta > 0</math> כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> , אז מתקיים <math>\ g(x) < M</math>.

ההגדרות אלו מגדירות בצורה מדוייקת את מה שנאמר במילים פשוטות בצורה מדוייקת. ההגדרות קובעות כי לפונקציה אין חסם עליון בסביבת a, ויתרה מכך, לכל מספר גדול ככל שנרצה M, נוכל למצוא סביבה קטנה מספיק סביב a כך שערכי הפונקציה בסביבה זו גדלם כולם מ-M.<br />

הבא נראה כיצד הגדרות אלו באות לידי ביטוי בדוגמא למעלה, עבור הפונקציה <math>\ h_1</math>:<br />

יהי <math>\ M_0</math>>0 כלשהו. נסמן <math>\delta_0 \equiv \min(1, {1 \over \sqrt M_0})</math>. <br />

{{אתגר|הוכח עבור <math>\ h_2</math> המוגדרת מעלה כי <math>\lim _{x \to 0} h_2(x) = -\infty</math>.}}