חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←הגדרה מדויקת לגבולות חד-צדדיים: תיקוני תצוגה |
|||
שורה 134:
===גבולות חד צדדיים באינסוף===
נביט בפונקציה <math>h_3(x) = {1 \over x}</math>. האם לפונקציה קיים גבול עבור <math>\ x=0</math>? כאשר "מתקרבים ל-0 מימין" (כלומר עבור ערכים חיוביים), <math>\ h_3(x)</math> מקבלת ערכים הולכים וגדלים. כך:
{| class="wikitable" border="1"
! <math>\ x</math>
! <math>\ h_3(x)</math>
|-
| 1
| 1
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 0.1
| 10
|-
| 0.001
| 1,000
|- bgcolor="#EFEFEF"
| 0.0001
| 10,000
|-
| 0.000001
| 1,000,000
|}
לעומת זאת כאשר "מתקרבים ל-0 משמאל" (כלומר עבור ערכים שליליים, <math>\ h_3(x)</math> מקבלת ערכים הולכים וקטנים. כך:
{| class="wikitable" border="1"
! <math>\ x</math>
! <math>\ h_3(x)</math>
|-
| -1
| -1
|- bgcolor="#EFEFEF"
| -0.1
| -10
|-
| -0.001
| -1,000
|- bgcolor="#EFEFEF"
| -0.0001
| -10,000
|-
| -0.000001
| -1,000,000
|}
שוב אנו מבינים כי יש הבדל בני שני הצדדים של הנקודה x=0, ו"מרגישים" כי קיימים גבולות שונים בכל צד. ניתן הגדרה מדוייקת:
{{הגדרה|
שם=גבול חד צדדי אינסופי|
תוכן=
תהי <math>\ f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>\ (a,b)</math>. נאמר כי הגבול של <math>\ f(x)</math> כאשר <math>\ x</math> שואף ל-<math>\ a</math> מימין הוא <math>\ \infty</math>, ונכתוב
<math>\lim _{x \to a^{+}} f\left( x \right) = \infty</math>
אם לכל מספר <math>\ M > 0</math> קיים מספר <math>\ \delta > 0</math>
כך שאם <math>\ 0 < {x - a} < \delta</math> , אז מתקיים <math>\ f(x) > M</math>.
<br /><br />
תהי <math>\ f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>\ (b,a)</math>. נאמר כי הגבול של <math>\ f(x)</math> כאשר <math>\ x</math> שואף ל-<math>\ a</math> משמאל הוא <math>\ \infty</math>, ונכתוב
<math>\lim _{x \to a^{-}} f\left( x \right) = \infty</math>
אם לכל מספר <math>\ M > 0</math> קיים מספר <math>\ \delta > 0</math>
כך שאם <math>\ 0 < {a - x} < \delta</math> , אז מתקיים <math>\ f(x) > M</math>.
}}
ועכשיו נוכיח כי <math>\lim _{x \to a^{+}} h_3(x) = \infty</math>:<br />
יהי M>0 כלשהו. נבחר <math>\ \delta_0 = {1 \over M}</math>. יהי x כלשהו המקיים <math>\ 0<x-0<\delta_0</math> ואז קל לראות כי <math>\ h_3(x) = {1 \over x} > {1 \over \delta_0} = M</math>. מש"ל.
{{אתגר|
הגדר את הגבולות החד צדדיים: <math>\lim _{x \to a^{+}} f(x) = -\infty</math> ו-<math>\lim _{x \to a^{-}} f(x) = -\infty</math>,
והוכח כי <math>\lim _{x \to a^{-}} h_3(x) = -\infty</math>.
}}
==הגדרה מדויקת לגבולות באינסוף==
| |||