חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קבוצות חסומות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 1:
הנושא הקודם בתורת הקבוצות: [[חשבון אינפיטיסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/בר מניה ולא בר מניה|בר מניה ולא בר מניה]]
==הגדרות ודוגמאות==
<u>הגדרה</u>: תהא <math>\ A\subset\mathbb{R} </math>. נגיד שהקבוצה <math>\ A </math> ''חסומה מלעיל'' (''Bounded above'') אם קיים מספר <math>\ M </math> כך שלכל <math>\ x\in A </math>, מתקיים: <math>\ x\le M </math>.
[[תמונה:P4fst.jpg|כאן, M הינו חסם מלעיל כלשהו לקבוצה A, כלומר הקבוצה A חסומה מלעיל ע"י M.]]
קל לראות, על פי ההגדרה, ש- <math>\ M </math> אינו יחיד (כי: יהא <math>\ M </math> מספר המקיים את התנאי. אז כל מספר הגדול מ-<math>\ M </math> יקיים את התנאי אף הוא).
כל <math>\ M </math> המקיים את התנאי הנ"ל נקרא ''חסם מלעיל'' (''upper bound'').</br>
<u>הגדרה</u>: תהא <math>\ A\subset\mathbb{R} </math>. נגיד שהקבוצה <math>\ A </math> ''חסומה מלרע'' אם קיים מספר <math>\ m </math> כך שלכל <math>\ x\in A </math>, מתקיים: <math>\ x\ge m </math>.
ושוב קל לראות, על פי ההגדרה, ש- <math>\ m </math> אינו יחיד.</br>
כל <math>\ m </math> המקיים את התנאי הנ"ל נקרא ''חסם מלרע''.</br>
<u>דוגמאות</u>:</br>
1. <math>\ \mathbb{N} = \left\{ 1,2,3,\cdots \right\} </math> חסומה מלרע - כל <math>\ m\le 1 </math> הוא חסם מלרע.
לעומת זאת, הקבוצה <math>\ \mathbb{N} </math> אינה חסומה ''מלעיל''.</br>
2. <math>\ A= \left( 0,1 \right] </math>:
*קיים חסם מלעיל בתוך <math>\ A </math> (שהוא, כמובן, המספר <math>\ 1 </math>). פרט לכך, קיימים, כמובן, אינסוף חסמי מלעיל נוספים!
*קיים חסם מלרע <math>\ 0 </math>, אך הוא אינו בתוך <math>\ A </math> (קיימים, כמובן, נוספים, שגם אף אחד מהם אינו נמצא בתוך הקבוצה <math>\ A </math>).
3. <math>\ A= \left\{ \frac{1}{n} |n\in\mathbb{N} \right\} </math> חסומה מלעיל (למשל: ע"י <math>\ 1 </math>) ומלרע (למשל: ע"י <math>\ 0 </math>).</br></br>
<u>הגדרה</u>: קבוצה תקרא ''חסומה'' אם היא חסומה '''גם''' מלעיל ו'''גם''' מלרע.</br></br>
<u>הגדרה</u>: נתונה <math>\ A </math>, קבוצה החסומה מלעיל ב- <math>\ \mathbb{R} </math>.
המספר <math>\ M </math> יקרא ''החסם העליון הקטן ביותר'' (לפעמים פשוט ''"החסם העליון"'') או ''סופרמום'' של <math>\ A </math>, אם מתקיים:</br>
1) <math>\ M </math> חסם מלעיל של <math>\ A </math>.</br>
2) אין חסם מלעיל אחר של <math>\ A </math> שקטן ממש מ-<math>\ M </math>.
(במילים אחרות, אם <math>\ M_1 </math> חסם מלעיל של <math>\ A </math> אף הוא, אז מתקיים: <math>\ M_1 \ge M </math>).</br>
ניסוח אחר: <math>\ \forall M_2<M,\ \exists x\in A|x>M_2 </math>.</br>
<u>סימון</u>: <math>\ M=\sup \left\{ A \right\} </math>.</br>
דוגמה: <math>\ A= \left( 0,1 \right],\ B= \left[ 0,1 \right) </math>. בשני המקרים, <math>\ M=1 </math> הוא החסם העליון.</br>
נגדיר כעת ''חסם תחתון גדול ביותר'' או ''אינפימום'' (infimum):</br>
המספר <math>\ m </math> יקרא ''החסם התחתון הגדול ביותר'' (לפעמים פשוט ''"החסם התחתון"'') או ''אינפימום'' של <math>\ A </math>, אם מתקיים:</br>
1) <math>\ m </math> חסם מלרע של <math>\ A </math>.</br>
2) אין חסם מלרע של <math>\ A </math> הגדול מ-<math>\ m </math>.</br>
<u>סימון</u>: <math>\ m=\inf \left\{ A \right\} </math>.
*הערה: ניתן להגדיר אינפימום ע"י סופרמום, באופן הבא: <math>\ \inf \left\{ A \right\} =- \sup \left\{ -A \right\} </math>, כאשר מגדירים: <math>\ -A =\left\{ -x|x\in A \right\}</math>.
<u>הגדרה</u>:
#נתונה קבוצה <math>\ A </math> החסומה מלעיל ע"י <math>\ M </math>, כלומר <math>\ M= \sup \left\{ A \right\} </math>. אם <math>\ M\in A </math>, אז נגיד ש-''<math>\ M </math> הוא המקסימום של <math>\ A </math>'', ונכתוב: <math>\ M= \max \left\{ A \right\} </math>.</br>
#נתונה קבוצה <math>\ B </math> החסומה מלרע ע"י <math>\ m </math>, כלומר <math>\ m=\inf \left\{ B \right\} </math>. אם <math>\ m\in B </math>, נגיד ש-''<math>\ m </math> הוא המינימום של <math>\ B </math>'', ונכתוב: <math>\ m=\min \left\{ B \right\} </math>.
* הערה: אם יש ל-<math>\ A </math> מספר סופי של איברים, אז יש לה הן מקסימום והן מינימום.
==נושא 2==
==נושא 3==
| |||