חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קבוצות חסומות

חשבון אינפיניטסימלי

הגדרות ודוגמאות

הגדרה: תהי $A\subset \mathbb {R}$ . נאמר כי הקבוצה $A$ חסומה מלעיל (Bounded above) אם קיים מספר $M$ כך שלכל $x\in A$ מתקיים $x\leq M$ .

קל לראות על־פי ההגדרה כי $M$ אינו יחיד (כי: יהי $M$ מספר המקיים את התנאי. אז כל מספר הגדול מ־$M$ יקיים את התנאי אף הוא). כל $M$ המקיים את התנאי הנ"ל נקרא חסם מלעיל (upper bound).

הגדרה: תהי $A\subset \mathbb {R}$ . נאמר כי הקבוצה $A$ חסומה מלרע (Bounded below) אם קיים מספר $m$ כך שלכל $x\in A$ מתקיים $x\geq m$ .
ושוב, קל לראות על־פי ההגדרה כי $m$ אינו יחיד.
כל $m$ המקיים את התנאי הנ"ל נקרא חסם מלרע(lower bound).
דוגמאות:

1. $\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}$ חסומה מלרע – כל $m\leq 1$ הוא חסם מלרע. לעומת זאת, הקבוצה $\mathbb {N}$ אינה חסומה מלעיל.
   
2. $A=(0,1]$ :
   1. קיים חסם מלעיל בתוך $A$ (שהוא כמובן המספר 1). פרט לכך, קיימים, כמובן, אינסוף חסמי מלעיל נוספים!
   2. קיים חסם מלרע 0, אך הוא אינו בתוך $A$ (קיימים, כמובן, נוספים, שגם אף אחד מהם אינו נמצא בתוך הקבוצה $A$).
3. $A=\left\{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \right\}$ חסומה מלעיל (למשל: על־ידי 1) ומלרע (למשל: על־ידי 0).

הגדרה: קבוצה תקרא חסומה אם היא חסומה גם מלעיל וגם מלרע.

הגדרה: תהי $A$ קבוצה החסומה מלעיל ב־$\mathbb {R}$ . המספר $M$ יקרא החסם מלעיל הקטן ביותר ("החסם העליון") או סופרמום (Supremum) של $A$ , אם מתקיים

1. $M$ חסם מלעיל של $A$ .
2. לכל חסם מלעיל אחר $M_{1}$ מתקיים $M_{1}\geq M$ .

ניסוח אחר: $\forall M_{2}<M,\ \exists x\in A:x>M_{2}$
סימון: $M=\sup A$ .
דוגמא: $A=(0,1],B=[0,1)$ . בשני המקרים $M=1$ הוא החסם העליון.

המספר $m$ יקרא החסם מלרע הגדול ביותר ("החסם התחתון") או אינפימום (Infimum) של $A$ , אם מתקיים

1. $m$ חסם מלרע של $A$ .
2. לכל חסם מלרע אחר $m_{1}$ מתקיים $m_{1}\leq m$ .

סימון: $m=\inf A$ .

• הערה: ניתן להגדיר אינפימום על־ידי סופרמום באופן הבא: $\inf A=-\sup(-A)$ , כאשר מגדירים: $-A=\{-x:x\in A\}$ .

הגדרה:

1. תהי $A$ קבוצה החסומה מלעיל על־ידי $M=\sup A$ . אם $M\in A$ נאמר כי $M$ הוא המקסימום של $A$ ונכתוב: $M=\max A$ .
2. תהי $B$ קבוצה החסומה מלרע על־ידי $m=\inf B$ . אם $m\in B$ נאמר כי $m$ הוא המינימום של $B$ ונכתוב: $m=\min B$ .

• הערה: אם יש ל־$A$ מספר סופי של אברים, אז יש לה הן מקסימום והן מינימום.

דוגמא חשובה

שאלה: האם לכל קבוצה $A$ החסומה מלעיל יש סופרמום?
תשובה: תלוי (ותכף נראה במה)

• אם אנחנו נמצאים בתוך $\mathbb {Q}$ – התשובה היא לא.
• אם אנחנו נמצאים בתוך $\mathbb {R}$ – התשובה היא כן, תמיד!

דוגמא חשובה מאוד: נתבונן בקבוצה הבאה $A={\bigl \{}x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2{\bigr \}}$
כעת נשאל לגבי הקבוצה הזו: האם קיים לה סופרמום בתוך $\mathbb {Q}$ ?
טענה: לקבוצה $A$ הנ"ל אין סופרמום בתוך $\mathbb {Q}$ .
הוכחה: נניח בשלילה שקיים כזה, ונסמנו $M=\sup A$ .
בהכרח $M\neq {\sqrt {2}}$ (כי $M\in \mathbb {Q}$ , וראינו מקודם כי ${\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q}$). לכן קיימות שתי אפשרויות:
א) $M>{\sqrt {2}}$ : לפי המשפט שהוכחנו, בין כל שני מספרים קיים מספר רציונלי. לכן קיים מספר רציונלי $M_{1}$ עבורו ${\sqrt {2}}<M_{1}<M$ .

לכל $x\in A$ מתקיים כי $M_{1}>x$ כלומר $M_{1}$ חסם מלעיל, אזי $M$ אינו סופרמום! סתירה. לכן $M\leq {\sqrt {2}}$ . אבל כבר אמרנו $M\neq {\sqrt {2}}$ , לכן $M<{\sqrt {2}}$ .
ב) $M<{\sqrt {2}}$ : לפי אותו משפט כנ"ל, קיים מספר רציונלי $M_{2}$ עבורו $M<M_{2}<{\sqrt {2}}$ . לכן $M_{2}\in A$ כי $(M_{2})^{2}<2$ . אזי $M$ אינו סופרמום! סתירה.
מסקנה: אין לקבוצה $A$ הנ"ל סופרמום בתוך $\mathbb {Q}$ .

$\blacksquare$

אקסיומת השלמות

אקסיומת השלמות: לכל קבוצה (לא-ריקה) חסומה מלעיל ב- $\mathbb {R}$ קיים סופרמום.
($\iff$ לכל קבוצה חסומה מלרע ב- $\mathbb {R}$ קיים אינפימום).

• הערה: בהקשר הנוכחי של הדיון, אקסיומה היא תכונה בסיסית שאנו מצפים מקבוצת המספרים הממשיים לקיים. עם זאת, איננו מניחים כהנחת יסוד שהתכונה מתקיימת והיא ניתנת להוכחה בהתבסס על הצורה שבה הוגדרו המספרים הממשיים. יש שתי דרכים לבנית המספרים הממשיים תוך שימוש במספרים הרציונליים ושתיהן מניבות את אותה קבוצה. הדרך האחת משתמשת באובייקטים הנקראים חתכי דדקינד והשניה מתבססת על מושג שנקרא סדרת קושי. בהמשך הקורס נלמד על סדרות קושי, אך לא ניכנס לשימוש בהן לבניית הממשיים, שדורש בסיס רחב מעט יותר בתורת הקבוצות.

משפט (דוגמא לשימוש באקסיומת השלמות): לכל מספר חיובי $a$ ולכל $n\in \mathbb {N}$ קיים מספר חיובי אחד ויחיד $x$ , כך שמתקיים: $x^{n}=a\iff x=a^{\frac {1}{n}}\iff x={\sqrt[{n}]{a}}$

שימו לב, שמשפט זה מורכב משתי טענות: טענת הקיום, וטענת היחידות. מעתה ואילך, נרשום טענות מעין אלה באופן הבא: לכל מספר חיובי $a$ ולכל $n\in \mathbb {N}$ קיים ויחיד $x$ , כך שמתקיים...
הוכחה:
מאחר ואנו טוענים שתי טענות, נוכיח את שתיהן. לרוב, הוכחת היחידות קלה למדי, והוכחת הקיום היא זו הדורשת עבודה רבה יותר.
הוכחת הקיום:
נתון $a>0$ , ונתון $n\in \mathbb {N}$ . נגדיר את הקבוצה הבאה: $A=\left\{x\in \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}|x^{n}<a\right\}$ . (מטרתנו היא להראות שהמספר $x={\sqrt[{n}]{a}}$ הוא הסופרמום של קבוצה זו, בפרט מכאן ינבע שהוא קיים.)
הקבוצה $A$ לא-ריקה - למשל, $0\in A$ .
הקבוצה $A$ חסומה מלעיל - למשל ע"י $a+1$ , לכן מאקסיומת השלמות קיים לה סופרמום. נסמנו $M$ .
א) נניח ש- $M^{n}<a$ : במקרה זה, כמו בדוגמא שראינו למעלה, ניעזר במשפט שראינו קודם: קיים $M_{1}\in \mathbb {R}$ המקיים: $M\Leftarrow M<M_{1}\Leftarrow M^{n}<M_{1}^{n}<a$ אינו סופרמום (יש בקבוצה איבר שגדול ממנו) $M^{n}\Leftarrow$ אינו קטן מ- $a$ , כלומר $M^{n}\geq a$ .
ב) נניח ש $M^{n}>a$ : ושוב, כמו בדוגמא למעלה ובהסתמך על משפט הצפיפות, קיים מספר $M_{2}\in \mathbb {R}$ המקיים $M\Leftarrow M_{2}<M\Leftarrow a<M_{2}^{n}<M^{n}$ אינו סופרמום של $A$ (כי קיים לקבוצה חסם מלעיל שקטן ממנו) $M^{n}\leq a$ .
א+ב $M^{n}=a\Leftarrow (M^{n}\leq a)\wedge (M^{n}\geq a)\Leftarrow$ ▪ (לקיום)
(נזכור, כבדרך אגב, ש- $M$ גדול ממש מ- $0$ , וזאת משום ש- $a$ גדול ממש מ- $0$ , לכן בין $0$ לבין $M$ יש מספר).
הוכחת היחידות: יהיו $x_{1},x_{2}$ מספרים כנ"ל, כלומר המקיימים: $(x_{1})^{n}=(x_{2})^{n}=a$ , ונראה ש- $x_{1}=x_{2}$ :
נניח בלי הגבלת הכלליות (האם אתם זוכרים מהו פירוש "בלי הגבלת הכלליות" ומבינים מדוע ניתן להשתמש כאן בביטוי זה?) ש- $x_{1}<x_{2}$ . נעלה את הביטוי בריבוע: נזכור ששני האגפים הם חיוביים, לכן סימן אי-השיוויון נשמר. נקבל: $(x_{1})^{2}<(x_{2})^{2}$ .
נכפול כעת את אגף שמאל ב- $x_{1}$ , ואת אגף ימין ב- $x_{2}$ . נקבל: $(x_{1})^{3}<(x_{2})^{3}$ .
נחזור על הפעולה $n$ פעמים, עד שלבסוף נקבל: $(x_{1})^{n}<(x_{2})^{n}$ . יצאנו מהנחה הפוכה והגענו לסתירה (ר' הערה למטה) $x_{1}=x_{2}\Leftarrow$ ▪

הערה: כמה מילים לגבי שיטות הוכחה:

• על פניו, הוכחה אמורה להיראות כך: נתון $p$ , אנו רוצים להוכיח את $q$ , כלומר אנו רוצים להוכיח: $q\Leftarrow p$ , (כאשר p$p$ ו- $q$ מסמלים משפטים, טענות לוגיות וכו'). איך נעשה זאת?

לכאורה, אין פשוט מכך: נראה ש- $q$ נובע מ- $p$ (או ש- $p$ גורר את $q$). אבל, בהוכחות כמו ההוכחה האחרונה, הראינו בעצם ששמתקיים: $(*)(\sim p)\Leftarrow (\sim q)$ . כלומר: העובדה ש- $q$ לא מתקיים גוררת את העובדה שגם $p$ אינו מתקיים. ואם הוכחנו את $(*)$ - סיימנו את ההוכחה. ומדוע זאת?
נניח ש- $p$ מתקיים (זהו הנתון), ונניח בשלילה ש- $q$ לא מתקיים. אבל, לפי הטענה שהוכחה $(*)$ , אם $q$ לא מתקיים $p\Leftarrow$ לא מתקיים - וזוהי סתירה לנתון ש- $p$ כן מתקיים! לכן, הוכחת $(*)$ שקולה להוכחת הטענה המקורית.

• הוכחה בשלילה: כפי שראיתם, השתמשנו בשיטה זו רבות בפרק זה, ואתם תיתקלו בה גם בפרקים הבאים של קורס זה, ולמעשה בכל ענף במתמטיקה. שיטה זו מבוססת על ההנחה, שטענה מסויימת $p$ יכולה או להתקיים או שלא להתקיים, ולא יתכן מצב אחר. לכן, אם אנו מניחים שהיא מתקיימת ומגיעים לסתירה, אנו יכולים להסיק שהטענה אינה מתקיימת. זוהי שיטה יעילה מאוד, ואין ספק כי היא תהיה לכם לעזר רב בהמשך.

סיימנו את פרק המבוא. כדי לתרגל, אתם מוזמנים להיכנס לתרגולים על מנת לעכל את החומר טוב יותר. לאחר מכן, תוכלו לנסות לפתור בעצמכם את התרגילים לעבודה עצמית, על מנת לתרגל את החומר.

הנושא הבא בחשבון אינפינטיסימלי: סדרות. זכרו: מומלץ מאוד קודם כל לתרגל את מה שכבר למדתם, ורק לאחר מכן לעבור לנושא הבא!