חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קבוצות חסומות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 40:
* הערה: אם יש ל-<math>\ A </math> מספר סופי של איברים, אז יש לה הן מקסימום והן מינימום.
==דוגמא חשובה==
<math>\ ? </math> <u>שאלה</u>: האם לכל קבוצה <math>\ A </math> החסומה מלעיל יש סופרמום?</br>
<u>תשובה</u>: תלוי (ותיכף נראה במה)</br>
*אם אנחנו נמצאים בתוך <math>\ \mathbb{Q} </math>, התשובה היא לא.</br>
*אם אנחנו נמצאים בתוך <math>\ \mathbb{R} </math>, התשובה היא כן, תמיד!</br>
<u>דוגמה חשובה מאוד</u>: נתבונן בקבוצה הבאה: <math>\ A= \left\{ x\in\mathbb{Q} |x^2<2 \right\} </math> </br>
כעת, נשאל לגבי הקבוצה הזו: האם קיים לה סופרמום בתוך <math>\ \mathbb{Q} </math>?</br>
<u>טענה</u>: לקבוצה <math>\ A </math> הנ"ל אין סופרמום בתוך <math>\ \mathbb{Q} </math></br>.
<u>הוכחה</u>: נניח בשלילה שקיים כזה, ונסמנו באות <math>\ M </math>. כלומר: <math>\ M=\sup \left\{ A \right\} </math>.</br>
בהכרח <math>\ M\ne\sqrt{2} </math> (משום ש- <math>\ M\in\mathbb{Q} </math>, וראינו מקודם ש- <math>\ \sqrt{2}\not\in\mathbb{Q} </math>). לכן, קיימות שתי אפשרויות:</br>
א) <math>\ M>\sqrt{2} </math>: לפי המשפט שהוכחנו, בין כל שני מספרים קיים מספר רציונלי. לכן, בין <math>\ M </math> ובין <math>\ \sqrt{2} </math> יש מספר רציונלי כלשהו, נסמנו <math>\ M_1 </math>.</br>
[[תמונה:P5fst.jpg|תמונה להמחשה: גבולות הקבוצה A וחסמיה]]
כעת: לכל <math>\ x\in A </math>, מתקיים ש- <math>\ M_1>x </math>
<math>\ M_1 \Leftarrow </math> חסם מלעיל <math>\ M \Leftarrow </math> אינו סופרמום! (כי יש חסם מלעיל הקטן ממנו) <math>\ \Leftarrow </math> סתירה להנחה ש- <math>\ M>\sqrt{2} </math> <math>\ M\le \sqrt{2} \Leftarrow</math>. אבל, כבר אמרנו שבהכרח <math>\ M\ne\sqrt{2} </math>
<math>\ M<\sqrt{2} \Leftarrow </math>.</br>
ב) <math>\ M<\sqrt{2} </math>: לפי אותו משפט כנ"ל, יש בין <math>\ M </math> לבין <math>\ \sqrt{2} </math> מספר רציונלי <math>\ M_2 </math>, ומתקיים: <math>\ M<M_2<\sqrt{2} </math>. לכן, <math>\ M_2\in A </math> (כי: <math>\ M<\sqrt{2} </math>
<math>\ \left( M_2 \right) ^2 <2 \ \ \Leftarrow </math>) <math>\ M \ \Leftarrow</math> אינו חסם עליון כלל! (כי יש איבר בקבוצה שגדול ממנו).
</br><u>מסקנה</u>: אין לקבוצה <math>\ A </math> הנ"ל סופרמום בתוך <math>\ \mathbb{Q} </math>, והטענה הוכחה.▪
==נושא 3==
| |||