משוואות דיפרנציאליות חלקיות/מיון משוואות לינאריות מסדר שני בשני משתנים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←משוואה פרבולית: הרחבה |
|||
שורה 125:
==משוואה פרבולית==
===צורה קנונית===
נרצה להגיע לצורה הכי פשוטה שעדיין שתקיים <math>\ \tilde b^2 - \tilde a \tilde c = 0</math>. לכן נבחר שהצורה הקנונית של משוואה פרבולית תהיה:
v_{\xi\xi} + L_1[v] = g \\▼
\tilde a=1,\ \tilde b =
\end{cases}
</math>
כאן, מכיוון ש-<math>\ b^2-ac=0</math>, הטרנספורמציה מתקבלת מתוך הקשר היחיד▼
דרך פתרון המשוואה <math>\ \tilde c=0</math> זהה לדרך פתרון המשוואה <math>\ \tilde c=0</math> אותה ראינו קודם. נקבל שוב את הקשר בין x,y:
:<math>\ \frac{dy}{dx} = \frac{b}{a}</math>▼
<math>\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-ac}}{a}</math>
ומתוך בחירת פונקציה שרירותית אחת נוספת כך שהיעקוביאן לא יתאפס (בדרך כלל בוחרים את הפונקציה הנוספת להיות פשוט x).▼
▲ומתוך בחירת פונקציה שרירותית אחת נוספת כך שהיעקוביאן לא יתאפס (בדרך כלל בוחרים את הפונקציה הנוספת להיות פשוט x). אם כן, בבעיה פרבולית יש משפחה אחת בלבד של קווים אופיניים.
===דוגמאות===
====משוואת החום החד-מימדית====
משוואת החום היא (כאן t הוא "בתפקיד" x, ו-x הוא "בתפקיד" y):
נשתמש בקשר שקבלנו לעיל עבור הקווים האופייניים:
<math>\ \left(\frac{d x}{d t}\right)_{1,2} = -{b\over a}=0 \quad\Rightarrow\quad \psi_1 = x+c,\ \psi_2=t</math>
כאשר ψ<sub>2</sub> נבחר שרירותית מטעמי נוחות ופשטות. נבחר:
<math>\ \xi(t,x) = x-c,\ \eta(t,x) = t</math>
ונציב חזרה למשוואת החום:
<math>\ \begin{cases}
u_{t} = u_{\eta} \\
u_{xx} = u_{\xi\xi}
\end{cases} \quad\Rightarrow\quad u_{tt}-c^2u_{xx} = u_{\eta}-ku_{\xi\xi} =0
</math>
קיבלנו חזרה את אותה המשוואה, כלומר משוואת החום היא כבר בצורתה הקנונית, והחלפת המשתנים במקרה זה לא עוזרת לפתרון. יכולנו לחזות זאת מראש מכיוון שאם נתבונן בצורת המשוואה ניווכח כי היא מורכבת מנגזרת שניה של הפונקציה המעורבת ומאיבר נוסף אשר נבלע ב-g של ההצגה הקנונית.
==משוואה אליפטית==
| |||