משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת לפלס לפתרון בעיות תנאי התחלה

התמרת לפלס היא התמרה מוכרת מאוד ונפוצה בהנדסה.

התמרת לפלס הינה מהצורה:

$\ F(p)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-px}f(x)\mathrm {d} x$

היתרונות בהתמרה זו הינם:

• השילוב הקל של תנאי התחלה בתהליך הפתרון שהיא מאפשרת.
• קיימת ספרות נרחבת עם טבלאות התמרות מפורטות.

החסרונות בהתמרה הינם:

• מתאימה רק לבעיות תנאי התחלה.
• על מנת להגיע לפתרון במשתנים המקוריים לעתים דרוש לבצע התמרה הפוכה שאינה שגרתית, שתהיה מלווה במציאת שאריות וכיו״ב.

דוגמאות

בעיית גלים במיתר חצי־אינסופי

נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:

$\ {\begin{cases}u_{tt}=u_{xx}\\u(x,0)=u_{t}(x,0)=0\\u(0,t)=t\end{cases}}$

נפעיל את ההתמרה על המשתנה t (שבו נתונים תנאי ההתחלה) באגף שמאל ונקבל:

$\ p^{2}U(x,p)-pu(x,0)-u_{t}(x,0)=U''(x)$

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.