משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת הנקל

התמרת הנקל יכולה להיות סופית או אינסופית. פונקצית הגרעין בהתמרת הנקל היא פונקצית בסל כלשהי:


השיטה

עריכה

השיטה, בדומה לכל השיטות האינטגרליות, מתבססת על ההנחה כי ניתן לשנות סדר בין גזירה לאינטגרציה, כלומר שמתקיים, לדוגמה:

 

דוגמאות

עריכה

בעיית גלים חד-ממדית בקוארדינטות קוטביות

עריכה

נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:

 

בעיה זו מתאימה לדוגמה עבור תנודות סימטריות בממברנה מעגלית.

נפעיל התמרת הנקל סופית (כי הבעיה נתונה בתחום סופי) על המשתנה r (כי הבעיה מתוחמת ב-r) עם פונקצית בסל מסדר 0:

 

(כאן λn הם האפסים של פונקצית בסל, כך שבביטוי לעיל היא מתאפסת בקצה התחום כי r=a שם)

כך שמתקבל:

 

אינטגרציה בחלקים פעמיים של אגף ימין ושימוש בזהויות

 

תביא למד"ר הבאה:

 

(להסביר מדוע מופיע האינקס n)

פתרון בערת פונקצית גרין יתן את הביטוי הבא:

 

על מנת לקבל את הפתרון במישור הזמן יש לבצע התמרה הפוכה ע"י טור בסל-פורייה.

ההתמרה ההפוכה מתקבלת על ידי פיתוח לטור שנקרא טור בסל-פורייה:

 

כאשר המקדמים an נתונים על ידי:

 

נקבל: