התמרת הנקל יכולה להיות סופית או אינסופית. פונקצית הגרעין בהתמרת הנקל היא פונקצית בסל כלשהי:
השיטה, בדומה לכל השיטות האינטגרליות, מתבססת על ההנחה כי ניתן לשנות סדר בין גזירה לאינטגרציה, כלומר שמתקיים, לדוגמה:
בעיית גלים חד-ממדית בקוארדינטות קוטביות
עריכה
נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:
בעיה זו מתאימה לדוגמה עבור תנודות סימטריות בממברנה מעגלית.
נפעיל התמרת הנקל סופית (כי הבעיה נתונה בתחום סופי) על המשתנה r (כי הבעיה מתוחמת ב-r) עם פונקצית בסל מסדר 0:
(כאן λn הם האפסים של פונקצית בסל, כך שבביטוי לעיל היא מתאפסת בקצה התחום כי r=a שם)
כך שמתקבל:
אינטגרציה בחלקים פעמיים של אגף ימין ושימוש בזהויות
תביא למד"ר הבאה:
(להסביר מדוע מופיע האינקס n)
פתרון בערת פונקצית גרין יתן את הביטוי הבא:
על מנת לקבל את הפתרון במישור הזמן יש לבצע התמרה הפוכה ע"י טור בסל-פורייה.
ההתמרה ההפוכה מתקבלת על ידי פיתוח לטור שנקרא טור בסל-פורייה:
כאשר המקדמים an נתונים על ידי:
נקבל: