מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות ממעלה שלישית או יותר

אי-שוויונות ממעלה שלישית או יותר

אי-שוויונות ממעלה הגבוהה ממעלה שניה הם בדרך כלל קשים יותר. דרך הפתרון:

מעבירים את כל האברים לאגף אחד בלבד. (בד"כ אי-שוויון מסוג כזה ינתן כבר במצב שבאגף אחד יש אפס)
מפרקים את הביטוי לגורמים ככל הניתן.
עורכים טבלה (זו השיטה העדיפה):
- הכותרות של השורות בטבלה הן כל אחד מהביטויים שהופיעו באי-שוויון לאחר הפירוק לגורמים.
- בכותרות העמודות יש לרשום את הערכים המאפסים כל אחד מהביטויים שהתקבלו, כאשר יש לשים גם עמודות בין תחום לתחום (עמודות נוספות בקצוות).
- רושמים בכל משבצת שנוצרה את סימן הערך- (+ או - או אפס).
- לבסוף מוסיפים שורה תחתונה שכותרתה- מכפלה, ומחשבים עבור כל עמודה את סימן המכפלה של כל המשבצות שבאותה עמודה- (+ או - או אפס).
- אם התבקשתם להראות מתי אי-השוויון גדול מאפס, יש לכתוב את התחומים בהם התקבלה מכפלה שהיא + (חיובית). אם התבקשתם להראות מתי אי-השוויון קטן מאפס, יש לכתוב את התחומים בהם התקבלה מכפלה שהיא - (שלילית). אם בנוסף התבקשתם להראות מתי זה שווה לאפס (לדוגמה גדול או שווה לאפס), אזי יש להוסיף את התחומים בהם התקבלה מכפלה 0.

דוגמא א'

$(x-1)(x^{2}-x-6)<0$

$(x-1)(x^{2}-3x+2x-6)<0$

$(x-1){\big [}x(x-3)+2(x-3){\big ]}<0$

$(x-1)(x+2)(x-3)<0$

$x>3$	$3$	$1<x<3$	$1$	$-2<x<1$	$-2$	$x<-2$
$+$			$0$	$-$			$x-1$
$+$					$0$	$-$	$x+2$
$+$	$0$	$-$					$x-3$
$\color {Green}(+)$	$0$	$\color {red}(-)$	$0$	$\color {Green}(+)$	$0$	$\color {red}(-)$	מכפלה

התבקשנו להראות את ערכי $x$ עבורם הביטוי קטן מ-0, ולכן אנו מחפשים מכפלה שלילית. לכן התוצאה היא:

x<-2

או

1<x<3

דוגמא ב'

$(x^{2}-4x)(x^{2}-25)\geq 0$

${\big [}x(x-4){\big ]}{\big [}(x-5)(x+5){\big ]}\geq 0$

$x(x-4)(x-5)(x+5)\geq 0$

$x>5$	$5$	$4<x<5$	$4$	$0<x<4$	$0$	$-5<x<0$	$-5$	$x<-5$
$+$					$0$	$-$			$x$
$+$	$0$	$-$							$x-5$
$+$							$0$	$-$	$x+5$
$+$			$0$	$-$					$x-4$
$\color {Green}(+)$	$0$	$\color {red}(-)$	$0$	$\color {Green}(+)$	$0$	$\color {red}(-)$	$0$	$\color {Green}(+)$	מכפלה