מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/הוצאת גורם מחוץ לסוגריים

באלגברה, קל לראות גורמים במכפלה. למשל, בביטוי $a\cdot b$ הגורמים הם $a,b$ . ובביטוי $a(b+1)$ הגורמים הם $a,b+1$ .

לעתים, בביטוי אלגברי נזהה גורם שמשותף לכל האברים בביטוי. למשל, בביטוי $a\cdot b+a\cdot c$ הגורם המשותף הוא $a$ . הוא משותף לאבר $a\cdot b$ ולאבר $a\cdot c$ . כלומר, ביצענו פעולה שהנה הפעולה ההפוכה לפעולת פתיחת סוגריים שכופלים אבר יחיד. בהוצאת גורם מחוץ לסוגריים משתמשים בחוק הפילוג פירוק לגורמים על ידי הוצאת גורם משותף משמעו הוצאת הגורם המשותף לכל האברים בביטוי מחוץ לסוגריים.

$$ac+ab=a(c+b)$$

עם זאת, ניתן להוציא גורם מחוץ לסוגריים גם אם איננו משותף על ידי כך חילוק בו. ניתן לעשות זאת באופן הבא :

$$ac+b=c\left(a+{\frac {b}{c}}\right)$$

צורה זו הינה נדירה יותר, אך אף היא שימושית מדי פעם.

דוגמא 1

פרק לגורמים את הביטוי $a\cdot b+a\cdot c$ .

הגורם המשותף הוא $a$ . נשתמש בחוק הפילוג ונוציא אותו מחוץ לסוגריים: $a\cdot b+a\cdot c=a(b+c)$ .

דוגמה 2

בביטוי $(a+1)(b+1)+c(b+1)$ הגורם המשותף הוא $b+1$ . הוא משותף לאבר $(a+1)(b+1)$ ולאבר $c(b+1)$ .

לכן: $(b+1)(a+1+c)$ .

דוגמא 3

פרק לגורמים את הביטוי $(b+c)(a+2)+2(b+c)$ .

הגורם המשותף הוא $b+c$ .

על־פי חוק הפילוג:

$$=(b+c){\bigl (}(a+2)+2{\bigr )}$$

על־פי חוק הקיבוץ:

$${\begin{aligned}&=(b+c){\bigl (}a+2+2{\bigr )}\\&=(b+c)(a+4)\end{aligned}}$$

דוגמא 4

נתון הביטוי ${\sqrt {12}}+{\sqrt {3}}$

ביטוי זה דומה לביטוי בדוגמא קודמת. על־מנת לפשטו נבצע את פעולת הוצאת הגורם המשותף. במקרה זה לא רואים מיד את הגורם המשותף. על־מנת לראותו נבצע שוב את אותה פעולה שביצענו בדוגמא בסעיף הקודם והיא פירוק לגורמים. ברור כי 12 הנו מספר פריק. והוא מתפרק ל־3 (שהוא ראשוני) ול־$2^{2}$ שהוא ריבוע של מספר ראשוני. נקבל:

$${\begin{aligned}{\sqrt {12}}+{\sqrt {3}}&={\sqrt {2^{2}\cdot 3}}+{\sqrt {3}}\\&={\sqrt {2^{2}}}\cdot {\sqrt {3}}+{\sqrt {3}}\\&=2{\sqrt {3}}+{\sqrt {3}}\\&={\sqrt {3}}(2+1)=3{\sqrt {3}}\end{aligned}}$$

שזהו ביטוי פשוט הרבה יותר. ניתן לפשט ביטויים מסובכים עוד הרבה יותר בדרך זו.

דוגמא 5

הסיבה הנפוצה ביותר להוצאת גורם משותף הנה צמצום גורמים משותפים בשברים או במשוואות. אם למשל נתון הביטוי

$${\frac {a^{2}+a}{a+1}}$$

הרי שביטוי זה ניתן לפישוט על־ידי הוצאת הגורם המשותף $a$ מחוץ לסוגריים. נעשה זאת כך:

$${\frac {a^{2}+a}{a+1}}={\frac {a\left(a+1\right)}{a+1}}=a$$

דוגמא 6

שילוב של מספר טכניקות ביחד עלול להיות מעט מסובך, אך התוצאה לעיתים קרובות שווה את ההקרבה. נסו להבין כל שלב בפישוט. כאן הצורה הסופית ספק פשוטה יותר מהמקורית אך ללא ספק קלה יותר לשימוש.

$${\begin{matrix}{\dfrac {1-{\dfrac {c+{\dfrac {2}{b}}}{{\dfrac {c}{a}}+{\dfrac {1}{c}}}}}{1-{\dfrac {1}{b}}}}-1&=&{\dfrac {b\left(1-{\dfrac {c+{\dfrac {2}{b}}}{{\dfrac {c}{a}}+{\dfrac {1}{c}}}}\right)}{b\left(1-{\dfrac {1}{b}}\right)}}-1={\dfrac {b-{\dfrac {b\left(c+{\dfrac {2}{b}}\right)}{{\dfrac {c}{a}}+{\dfrac {1}{c}}}}}{b-1}}-1\\&=&{\dfrac {b-{\dfrac {b\left(c+{\dfrac {2}{b}}\right)}{\dfrac {c^{2}+a}{ac}}}}{b-1}}-1={\dfrac {b-{\dfrac {b\left(c+{\dfrac {2}{b}}\right)ac}{\left({\dfrac {c^{2}+a}{ac}}\right)ac}}}{b-1}}-1={\dfrac {b-{\dfrac {abc\left(c+{\dfrac {2}{b}}\right)}{c^{2}+a}}}{b-1}}-1\\&=&{\dfrac {{\dfrac {b(c^{2}+a)}{c^{2}+a}}-{\dfrac {abc\left(c+{\dfrac {2}{b}}\right)}{c^{2}+a}}}{b-1}}-1={\dfrac {\dfrac {b(c^{2}+a)-abc\left(c+{\dfrac {2}{b}}\right)}{c^{2}+a}}{b-1}}-1\\&=&{\dfrac {{\dfrac {b(c^{2}+a)-abc\left(c+{\dfrac {2}{b}}\right)}{c^{2}+a}}(c^{2}+a)}{(b-1)(c^{2}+a)}}-1\\&=&{\dfrac {b(c^{2}+a)-abc\left(c+{\dfrac {2}{b}}\right)}{(b-1)(c^{2}+a)}}-1\\&=&{\dfrac {bc^{2}+ab-abc^{2}-{\dfrac {2abc}{b}}}{(b-1)(c^{2}+a)}}-1\\&=&{\dfrac {bc^{2}+ab-abc^{2}-2ac}{(b-1)(c^{2}+a)}}-1\\&=&{\dfrac {bc^{2}+ab-abc^{2}-2ac-(b-1)(c^{2}+a)}{(b-1)(c^{2}+a)}}\\&=&{\dfrac {bc^{2}+ab-abc^{2}-2ac-(bc^{2}-c^{2}+ab-a)}{(b-1)(c^{2}+a)}}\\&=&{\dfrac {bc^{2}+ab-abc^{2}-2ac-bc^{2}+c^{2}-ab+a}{(b-1)(c^{2}+a)}}\\&=&{\dfrac {-abc^{2}-2ac+c^{2}+a}{(b-1)(c^{2}+a)}}\\\end{matrix}}$$

דוגמא זו מציגה מגוון של טכניקות פישוט פשוטות אשר מביאות לתוצאה הרצויה רק לאחר מאבק של מספר דקות. רבים המקרים בהם נהיה חייבים להשתמש בטכניקות שלמדנו ואל לנו לפחד מהשימוש בהן גם אם מדובר במקרה מעט סבוך כפי שנראה לעיל.